Universität Tübingen Mathematisches Institut
Prof. Dr. Andreas Prohl Tübingen, den 06.05.2009
2. Übungsblatt zur Vorlesung Stochastische Partielle Differentialgleichungen
Aufgabe 4: (Bochner-Integral) Sei(X,A, µ)ein vollständiger endlicher1Massraum, und(V,||·||) sei ein Banachraum. Eine Funktionϕ:X →V heisst einfach (messbar), wenn sie in der Form
ϕ(x) =
n
X
i=1
χBi(x)vi
für Paarweise disjunkte (messbare) MengenBiund Vektorenv1, . . . , vn∈V geschrieben werden kann. Mit
“einfach” ist im folgenden immer “einfach messbar” gemeint. Wir brauchen noch drei weitere Definitionen.
(1) Die Funktionf :X →V heisst stark messbar, falls eine Folgeϕn von einfachen Funktionen mit
n→∞lim ||f(x)−ϕn(x)||= 0 fast überall gibt.
(2) Seiϕ(x) =Pn
i=1χBi(x)vi eine einfache Funktion. DasBochner-Integral von ϕist definiert als Z
ϕ dµ:=
n
X
i=1
µ(Bi)vi∈V.
Wie beim Lebesgue-Integral zeigt man dass für einfache Funktionenϕ, ψ gilt i) ¯
¯
¯
¯
R ϕ dµ¯
¯
¯
¯≤R
||ϕ(x)|| dµ(x) ii) R
(αϕ+βψ)dµ=αR
ϕ dµ+βR ψ dµ,
und dann erweitert man die Definition auf allgemeine messbare Funktionen.
(3) Eine stark messbare Funktionen f : X → V heisst Bochner-Integrabel, falls es eine Folge ϕn von einfachen Funktionen gibt mit
n→∞lim ||f(x)−ϕn(x)||= 0 fast überall
n→∞lim Z
||f(x)−ϕn(x)||dµ= 0.
(4) SeiA∈ Aundf Bochner-integrabel. Dann ist das Bochner-Integral definiert durch Z
A
f dµ= lim
n→∞
Z
χA·ϕndµ,
wobei die Folgeϕndie Bedingungen im Punkt 3 erfüllt.
Zeigen Sie:
a) Das Integral im Punkt4 ist wohldefiniert (d.h. der Limes hängt nicht von der Folge ab).
b) Ein stark messbaresf :X→V ist genau dann Bochner-integrabel, wennx7→ ||f(x)||integrabel ist.
Ausserdem gilt für eine Folge wie im Punkt 3, dass Z
||f||dµ= lim
n→∞
Z
||ϕn||dµ.
1Diese Bedingung wird nur der Einfachheit halber angenommen, dies ist jedoch nicht notwendig.
c) Für eine Bochner-integrable Funktion gilt¯
¯
¯
¯ R f dµ¯
¯
¯
¯≤R
||f||dµ
d) Seien V, W zwei Banachräume, T ∈ L(V, W) eine beschränkte lineare Abbildung und f : X → V Bochner-integrabel. Dann istT f :X →W Bochner-integrabel und
Z
T f dµ=T Z
f dµ.
Aufgabe 5: (Gauss’sche Masse auf Hilberträume) Sei(H,h., .i)ein Hilbertraum. Seia∈Hund Q∈ L1(H) symmetrisch. Dann existiert eine Orthonormalbasis (ek) und eine Folge von nicht negativen Zahlen(λk) mit
Qek =λkek. Wir definieren xk := hx, eki und Pnx=Pn
k=1xkek,x ∈H,n∈ N. Wir führen den natürlichen Isomor- phismusγ zwischen H und den Raum `2 von alle Folgen (xk) von reelle Zahlen mit P
k≥1x2k <∞ ein, definiert durch
γ :H →`2 (1)
x7→γ(x) = (xk). (2)
Im Folgenden identifizieren wirH und `2, insbesondere setzen wirPnx= (x1, . . . , xn),x∈`2. Jetzt betrachten wir den metrischen Raum(R∞, d(., .))mit
d(x, y) =
∞
X
n=1
2−n |xk−yk| 1 +|xk−yk|.
Eine MengeI ⊂R∞ wirdzylindrisch genannt, falls die Form
I ={x= (xk)∈R∞ |(x1, . . . xn)∈A},
fürA∈ B(Rn)besitzt. Die von der FamilieCder zylindrischen Mengen inR∞erzeugteσ-Algebra stimmt mit B(R∞)überein. Auf diesem Raum kann man das Produktmass
µ:=
∞
O
k=1
Nak,λk
durch den Caratheodory Erweiterungssatz definieren (siehe P.R. Halmos,Measure Theory, Van Nostrand, 1961, Kap. 38.B), wobeiNak,λk das Gauss-Mass mit Mittelvertakund Varianzλk ist. Wir werden zeigen, dassµ:=N∞
k=1Nak,λk ein Gauss-Mass aufH =`2 mit Erwartungswert aund KovarianzoperatorQ ist.
Zeigen Sie:
a) `2 ∈ B(R∞), b) µ(`2) = 1 c) R
eihx,hiµ(dx) =eiha,hie−12hQh,hi
Besprechung der Aufgaben in den Übungen am 12.05.2009
