a) Zeigen Sie: Ist f ≥ &gt

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2008 Universit¨at Marburg

Prof. Dr. W. Gromes

Ubungen zur Funktionalanalysis¨ – Blatt 12 –

Abgabe Dienstag, 24.6.2008, 14 Uhr s.t.

Aufgabe 41(4 Punkte). Sei H ein komplexer Hilbertraum,S ∈L(H) selbstadjungiert, f ∈C_p(σ).

a) Zeigen Sie: Ist f ≥ > 0 auf σ, so ist 0 ∈ ρ(f(S)) und hf(S)x|xi > 0 f¨ur alle x∈H\ {0}.

b) Folgt ausf > 0 aufσ auch 0 ∈ρ(f(S))?

Aufgabe 42 (4 Punkte). Zeigen Sie: Die Spektralschar (F_t)t∈R eines selbstadjungierten Operators S∈L(H) ist rechtsstetig, d.h. f¨ur allex∈H, λ∈R gilt

limt&λhF_tx|xi=hF_λx|xi.

Aufgabe 43(4 Punkte). Sei I = [a, b],g :I →R stetig,J :=g(I),S =M_g ∈L(L²(I)) der Multiplikationsoperator und (Ft)t∈R die Spektralschar von Mg. Zeigen Sie:

a) F¨ur alle t∈R ist F_t ein Multiplikationsoperator, geben Sie F_t konkret an.

b) F¨ur F(t) =hF_t1|1i gilt die verallgemeinerte Substitutionsformel Z

I

f(g(s))ds = Z

J

f(t)dF(t) f¨ur alle f ∈C_p(J)

c) Istg ∈C¹(I) und streng monoton wachsend, so istF ∈C¹(J). Berechnen SieF⁰(t).

Aufgabe 44 (4 Punkte). Sei g :R→R stetig,

D_Mg ={f ∈L²(R)|g·f ∈L²(R)}, M_g :D_Mg →L²(R), f 7→g·f . Zeigen Sie: M_g ist dicht definiert und abgeschlossen. Bestimmen SieM_g^∗.