Mathematisches Institut Lehrstuhl Optimierung
Prof. Dr. rer.nat. habil. S. Pickenhain Sommersemester 2011
Analysis II f¨ur die Studieng¨ange
Mathematik und Wirtschaftsmathematik, Physik Aufgabenblatt 12
Abgabetermin: 08.07.2011
Aufgabe 34 a) Beweisen Sie die folgenden Grenzwertaussagen mit Hilfe der Riemannschen Summendefinition:
1 np+1
∑n k=1
kp → p+11 ∀p∈N,
1 n
∑n k=1
sinkπn → π2.
b) Berechnen Sie folgende Grenzwerte, indem Sie geeignete Zwischensummen zu geeigneten Integralen betrachten:
n→∞lim (
1
n2 + n22 +. . .+2nn−21
) ,
nlim→∞
np∑−1 k=nq 1
k (p > q, p, q ∈IN).
6+6 Punkte
Aufgabe 35 Sei f eine R- integrierbare Funktion auf[-a,a]. Zeigen Sie:
a)
∫a
−a
f(x)dx= 0 falls f ungerade.
b)
∫a
−a
f(x)dx= 2
∫a 0
f(x)dx, falls f gerade.
Zeigen Sie die Gleichheit folgender Integrale:
c)
∫1 0
dx arccosx =
π/2∫
0 sinx
x dx, d )
π/2∫
0
f(sinx)dx=
π/2∫
0
f(cosx)dx.
Aufgabe 36 Zeigen Sie:
a) Die Funktion F : [0,∞)→IR;F(x) :=x√
xsin1x f¨urx >0 und F(0) = 0 besitzt in jeden Punkt ihres Definitionsbereiches ein Ableitung bzw. einseitige Ableitung F′.
b) Die Ableitung F′ ist auf keinem Intervall [0, b] (R-) integrierbar.
∗ ( besonders f¨ur Mathematiker) Zeigen Sie:
c) Wenn die FunktionF auf dem Intervall [a, b] differenzierbar ist und es gilt:
F′(a)̸=F′(b), so nimmt die Ableitung F′ in [a, b] jeden Wert zwischenF′(a) und F′(b) an.
d) Die Funktion f : [−1,1]→ IR , mit f(x) = 0 f¨ur x <0 und f(x) = 1 f¨ur x≥0 ist auf [−1,1] (R-) integrierbar, besitzt aber dort keine Stammfunktion (Benutzen Sie c) !).
6+6∗ Punkte
