Zeigen Sie: (a) F¨uri= 1

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 14.12.2012 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

10. ¨Ubungsblatt zur Numerik

Aufgabe 33: Zeigen Sie:

cond(A) = max_kyk=1kAyk min_kzk=1kAzk.

Mit Hilfe der rechten Seite l¨asst sich die Kondition auch f¨ur nichtquadratische Matrizen definieren.

Aufgabe 34: Es sei die Cholesky–Zerlegung einer symmetrisch positiv definiten MatrixA∈R^n×n durch A=LL^T gegeben. Zeigen Sie:

(a) F¨uri= 1, . . . , ngilt kLk²₂ = max

x6=0

x^TAx x^Tx ≥l²_ii. (b) F¨uri= 1, . . . , ngilt l_ii² ≥min

x6=0

x^TAx

x^Tx = 1 kL⁻¹k²₂.

(c) F¨ur die Konditionszahl cond₂(L) =kLk₂kL⁻¹k₂ gilt cond₂(L)≥ max

1≤i,k≤n

l_ii l_kk Aufgabe 35: Zu l¨osen sei das lineare GleichungssystemAx=bmit

A=

" R¯ v¯

¯ u^T 0

#

∈R^n×n,

wobei ¯R∈R(n−1)×(n−1) eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist, ¯u,v¯∈Rⁿ⁻¹ undx, b∈Rⁿ. (a) Geben Sie die Dreieckszerlegung von A an und zeigen Sie, dass A genau dann invertierbar ist,

wenn ¯u^TR¯⁻¹¯v6= 0 gilt.

(b) Formulieren Sie einen sparsamen Algorithmus zur Berechnung vonxin Pseudo-Code. Wieviele und welche Operationen sind n¨otig?

Aufgabe 36:

(a) Sei A=LRdie LR-Zerlegung der (n×n)-MatrixA mit|l_ij| ≤1. Zeigen Sie, dass maxi,j |r_ij| ≤2ⁿ⁻¹max

i,j |a_ij|.

Hinweis: Verwenden Sie die Beziehungr^T_i =a^T_i −Pi−1

j=1l_ijr_j^T f¨ur die Zeilen a^T_i und r_i^T von A undR und Induktion.

(b) Zeigen Sie: F¨ur die Matrix

A=

















1 0 · · · 0 1

−1 1 . .. ... ... ... . .. ... 0 ...

−1 · · · −1 1 1

−1 · · · −1 1

















tritt Gleichheit in obiger Absch¨atzung auf.

Besprechung in den ¨Ubungen am 21.12.2012