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L¨osungen zur 1. ¨Ubung der Algebra f¨ur Informatiker (SS 14) Aufgabe 1. Sei

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Academic year: 2021

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(1)

L¨ osungen zur 1. ¨ Ubung der Algebra f¨ ur Informatiker

(SS 14)

Aufgabe 1.

Sei M eine endliche Menge. Zeigen Sie, daß dann |P (M)| = 2 | M | gilt.

L¨ osung: Vollst¨andige Induktion ¨uber |M |.

(IA) Sei |M | = 0. Dann ist M die leere Menge und P (M ) = {∅}. Also gilt

|P (M )| = 1 = 2 0 wie gew¨unscht.

(IS) Sei |M | > 0. Dann gibt es ein m ∈ M . Sei M = M \ {m}. Dann gilt M = M ∪ {m}. Seien M 1 , . . . , M l die Teilmengen von M und damit die Elemente von P (M ). Per Induktion gilt dann l = 2 | M

| . Die Teilmengen von M sind dann M 1 , . . . , M l , M 1 ∪{m}, . . . , M l ∪{m}. Also gilt |P (M )| = 2|P (M )| = 2l = 2 · 2 | M

| = 2 | M

| +1 = 2 | M | .

Aufgabe 2.

Seien A, B, C, D Teilmengen einer Grundmenge M . Beweisen oder wiederle- gen Sie die folgenden Aussagen.

(a) Aus A ∪ B = A ∪ C folgt B = C.

(b) Aus A ∩ B = A ∩ C folgt B = C.

(c) Aus A ⊆ B folgt B c ⊆ A c . L¨ osung:

(a) Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel w¨ahle A = {a, b, c}, B = {b}

und C = {c}.

(b) Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel w¨ahle A = {a}, B = {b} und C = {c}.

(c) Die Aussage ist richtig. Zeige B c ⊆ A c . Sei dazu m ∈ B c . Dann ist m 6∈ B.

Da A ⊆ B , folgt m 6∈ A. Also ist m ∈ M \ A und damit m ∈ A c .

(2)

Aufgabe 3.

Bestimmen Sie per Division mit Rest die B-adische Darstellung der Zahl 134917 f¨ur B = 2 und B = 16.

L¨ osung:

(1) Division mit Rest f¨ur B = 16:

134917 = 8432 · 16 + 5 8432 = 527 · 16 + 0

527 = 32 · 16 + 15 32 = 2 · 16 + 0

2 = 0 · 16 + 2 Also 134917 = (2, 0, 15, 0, 5) 16 .

(2) Division mit Rest f¨ur B = 2:

134917 = 67458 · 2 + 1 67458 = 33729 · 2 + 0 33729 = 16864 · 2 + 1 16864 = 8432 · 2 + 0

8432 = 4216 · 2 + 0 4216 = 2108 · 2 + 0 2108 = 1054 · 2 + 0 1054 = 527 · 2 + 0

527 = 263 · 2 + 1 263 = 131 · 2 + 1 131 = 65 · 2 + 1

65 = 32 · 2 + 1 32 = 2 5

Also 134917 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1) 2 .

(3)

Aufgabe 4.

Bestimmen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den ggT von 20622 und 13314.

L¨ osung:

20622 = 1 · 13314 + 7308 13314 = 1 · 7308 + 6006

7308 = 1 · 6006 + 1302 6006 = 4 · 1302 + 798 1302 = 1 · 798 + 504

798 = 1 · 504 + 294 504 = 1 · 294 + 210 294 = 1 · 210 + 84 210 = 2 · 84 + 42

84 = 2 · 42

Daher ist ggT (20622, 13314) = 42.

(4)

Aufgabe 5.

Eine nat¨urliche Zahl v heißt Quadratzahl, falls es eine nat¨urliche Zahl w gibt mit w 2 = v. F¨ur n ∈ N 0 sei

P (n) = {m ∈ N | n 2 + m 2 ist eine Quadratzahl}.

(a) Bestimmen Sie P (0).

(b) Sei n ≥ 3 ungerade. Zeigen Sie, daß |P (n)| ≥ 1 gilt.

(c) Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie P (p).

(d) Finden Sie mindestens 10 verschiedene Elemente in P (60). (Computer!) Tipp: Experimentieren Sie zun¨achst mit Hilfe eines Computers. Versuchen Sie dann, die Ergebnisse Ihrer Beobachtung zu zeigen.

L¨ osung:

(a) Es gilt P (0) = N .

(b) Sei m = (n 2 − 1)/2 = (n + 1)(n − 1)/2. Da n ≥ 3 ungerade ist, ist m ∈ N . Weiter gilt n 2 + m 2 = n 2 + (n 4 − 2n 2 + 1)/4 = (n 4 + 2n 2 + 1)/4 = ((n 2 + 1)/2) 2 = (m + 1) 2 . Daher gilt m ∈ P (n).

(c) Sei p 2 + m 2 = v 2 . Dann gilt p 2 = v 2 − m 2 = (v − m)(v + m). Also folgt v − m | p 2 und v + m | p 2 . Da p eine Primzahl ist, gibt es nur 3 F¨alle:

(1) Es ist v − m = 1 und v + m = p 2 . Dann folgt m = (p 2 − 1)/2.

(2) Es ist v + m = 1 und v − m = p 2 .

Das ist nicht m¨oglich, da v + m ≥ v − m.

(3) Es ist v + m = v − m = p.

Auch das ist nicht m¨oglich.

Insgesamt enth¨alt P (p) h¨ochstens das Element (p 2 − 1)/2. Wenn p = 2 ist, so (p 2 − 1)/2 = 3/2 6∈ N . Also ist P (2) = ∅. Wenn p > 2 ist, so ist p ungerade und daher P (p) = {(p 2 − 1)/2} nach (b).

(d) P (60) = {11, 25, 32, 45, 63, 80, 91, 144, 175, 221, 297, 448, 899, . . .}.

Referenzen

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