Zeigen Sie: a) det|J(ϕ◦ψ

J. M¨uller SoSe 2018 03.07.2018 10. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Haus¨ubungen

A37: (Ellipse) Es seien a, b >0. ¨Uberlegen Sie sich, dass

A:=n

(x, y)∈R² :x a

2

+y b

2

≤1o

kompakt und glatt berandet ist, und berechnen Sie n(x, y) f¨ur (x, y)∈∂A.

A38: Es seien Ω, S ⊂ R^k offen, ψ : Ω → S ein Diffeomorphismus und ϕ : S → M eine topologische Immersion. Zeigen Sie:

a) det|J(ϕ◦ψ)|= (det|J ϕ| ◦ψ)|det(J ψ)|.

b) Ist f : M → K, so gilt g := (f ◦ ϕ) det|J ϕ| ∈ L(S) genau dann, wenn (g◦ψ)|det(J ψ)| ∈L(Ω), und in diesem Fall ist

Z

S

(f◦ϕ) det|J ϕ|= Z

Ω

(f ◦ϕ◦ψ)·det|J(ϕ◦ψ)|.

A39: Es sei h∈C_c¹(Rⁿ). Zeigen Sie Z

Rⁿ

∂_jh= 0 (j = 1, . . . , n).

A40: Es sei u:R^d\ {0} →R definiert durch

u(x) :=







ln|x|, fallsd= 2

|x|^2−d, fallsd >2 .

Berechnen Sie ∇u und zeigen Sie, dass u harmonisch ist, d. h.

∆u:=

d

X

k=1

∂_k²u= 0 auf R^d\ {0}.