J. Müller WS 2017/2018 29.11.2017 6. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra
A24: Es seien (G,·, e) eine abelsche Gruppe und x, y ∈ G. Zeigen Sie: Sind ord(x) und ord(y)endlich und teilerfremd, so ist
ord(xy) =ord(x)·ord(y).
A25: Es seien ϕ die Eulersche Phi-Funktion und (pk)k∈N die Folge der Primzahlen (mo- noton geordnet). Zeigen Sie:
a) ϕ(pk)
pk →1 (k → ∞), b) ϕ(p1· · ·pk)
p1· · ·pk →0 (k → ∞).
A26: Auf der Internet-Seite
www.matheboard.de/archive/17639/thread.html
fragt Jogglenchen – tja, das Internent vergisst nie – nach der Lösung einer simultanen Kongruenz (dabei ist „Zeilung = Teilung”). Bestimmen Sie die Lösungsmenge und die kleinste positive Lösung.
A27: a) Es seia∈Z. Zeigen Sie: 12und 18 teilen
(6a+ 1)(12a+ 1)(18a+ 1)−1.
b) Welche Eigenschaft hatn = 7·13·19 = 1729?
A28: Zeigen Sie:
a) Sindn, d∈N mit d|n, so giltϕ(d)|ϕ(n).
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst Q
p|n, p-d
p
n d. b) Für allen ≥3 ist ϕ(n) gerade.
