J. Müller WS 2017/2018 15.11.2017 4. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra
A16: Es seien k ∈N und pk die k-te Primzahl. Zeigen Sie:
a) 1
6kln(pk)≤pk≤4kln(pk), b) √
pk≤8k/e,
c) pk≤8k(lnk+ 3 ln(2)−1).
A17: a) Überlegen Sie sich, dass7·9·65 für jedes n ∈Ndie Zahl 84n−1 teilt.
b) Zeigen Sie: Ist a∈N ungerade, so ist 24 Teiler vona3−a.
A18: Es sei p∈P. Zeigen Sie:
a) Für allen ∈ {1, . . . , p−1} istp Teiler von
p
n
. b) Für allea, b∈Zgilt
(a+b)p ≡ap+bp modp.
A19: Es sei n∈N mit Dezimaldarstellung n=ar. . . a0. Zeigen Sie:
(i) Für m∈ {2,5}ist n≡a0 modm, (ii) n≡2a1+a0 mod 4,
(iii) n≡4a2+ 2a1+a0 mod 8.
