Zeigen Sie: Unter allen Polynomen pk vom Grad k mit pk(t0

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 17.04.2019 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

1. ¨Ubungsblatt zu Algorithmen der Numerischen Mathematik

Aufgabe 1: (Tschebyscheff-Polynome)

Sei t₀ ∈ R,|t₀| > 1. Zeigen Sie: Unter allen Polynomen p_k vom Grad k mit p_k(t₀) = 1 (bei t₀ normiert) wird

t∈[−1,1]max |p_k(t)|

minimal f¨ur das bei t0 normierte Tschebyscheff-PolynomT_k(t)/T_k(t0).

Aufgabe 2: (Sinus-/Cosinusreihe)

Zeigen Sie, dass die Fourierreihe einer stetigen, 2π-periodischen Funktion, f(t) =P∞

n=−∞c_ne^int die

¨aquivalente Darstellung

f(t) = 1 2a0+

∞

X

n=1

(ancos(nt) +bnsin(nt))

erlaubt. Geben Sie a_n, b_n als Funktion der c_n an. Wie lassen sich a_n und b_n aus f(t) berechnen?

Was ergibt sich f¨ur gerade und ungerade Funktionen (f(t) =f(−t) bzw.f(t) =−f(−t))?

Aufgabe 3: (Ces`aro-Summen) F¨ur eine Folge (a_n)_n∈

N definieren wir dieCes`aro-Summe s_n= a₁+a₂+· · ·+a_n

n .

Zeigen Sie: Aus der Konvergenz der Folge (an)_n∈

N ^{gegen eina}folgt Konvergenz der Folge (sn)_n∈

gegena, Konvergenz der Folge (sn)_n∈ N

N impliziert aber nicht die Konvergenz von (an)_n∈

N^. Aufgabe 4:

(a) Seix= (x0, x1, . . . , xN−1)∈R^N (alsoxjreell). Zeigen Sie f¨ur die diskrete Fourier-Transformierte ˆ

xvon x

ˆ

x_−k = ˆx_k f¨ur k∈Z.

(b) Falls x ∈ C^N eine gerade Folge ist (d.h. x−k =x_k f¨ur alle k ∈ Z), so ist auch die (diskrete) Fourier-Transformierte ˆx gerade.

Fallsx ungerade ist (d.h.x−k=−x_k f¨ur allek∈Z), so ist auch die Fourier-Transformierte ˆx ungerade.

Besprechung in den ¨Ubungen am 24.04.2019.