Prof.Dr. W.Koepf
Dr. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 10¨ COMPUTERALGEBRA II 20.01.2011
Aufgabe 1: (Fasenmyer-Algorithmus f¨ur Differentialgleichungen)
Schreiben Sie eine Prozedur, die eine dem Fasenmyer-Algorithmus sehr ¨ahnliche Vorgehensweise verwendet, aber anstelle einer Rekursionsgleichung eine Differentialgleichung f¨ur
S(x) :=X
k∈Z
F(x , k)
bestimmt.
Beim herk¨ommlichen Fasenmyer-Algorithmus muss die Eingabe F(n, k) ein hypergeometrischer Term in n und k sein. Welche Eigenschaft muss die Eingabe F(x , k) nun besitzen, damit der Algorithmus funktioniert?
Verwenden Sie Ihre Implementation, um Normalformen (Differentialgleichung + Anfangswerte) f¨ur (a) Pn(x) =
∞
P
k=−∞
n k
−n−1
k
1−x
2
k
(Legendre-Polynome)
(b) Jn(x) =
∞
P
k=0 (−1)k (n+k)!k!
x 2
2k+n
(Bessel-Funktionen) (c) F(x) = sin(x)
zu erhalten.
(10 Punkte)
Aufgabe 2: (Dispersionsmenge)
Verwenden Sie folgenden Satz, um eine Prozedur zu schreiben, die die Dispersionsmenge zweier Polynome uk undvk bestimmt.
Seien pk, qk ∈K[k]. Dann gilt
gcd(pk, qk)6≡1 ⇐⇒ r es(pk, qk) = 0, wobei r es(pk, qk)die Resultantea vonpk und qk bezeichnet.
Die Berechnung der Resultanten kann man mit demMathematica-BefehlResultantdurchf¨uhren.
Vergleichen Sie die Laufzeit Ihrer Prozedur mit der ProzedurDispersionsMengeaus der Vorlesung an drei ausgew¨ahlten Beispielen.
(6 Punkte)
af¨ur eine Definition der Resultanten siehe Abschnitt 7.5 inComputeralgebravon W. Koepf
Abgabetermin:bis sp¨atestens Donnerstag, 27.01.2011, 08.15 Uhr ansprenger@mathematik.uni-kassel.de.
