J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 21.11.2018
4. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A14: a) Es seien X ein linearer Raum ¨uber K und k · k, k · k0 Normen auf X. Zeigen Sie: Sind (X,k · k) und (X,k · k0) Banachr¨aume und existiert ein c >0 mit
kxk0 ≤ckxk (x∈X), so sind k · kund k · k0 ¨aquivalent.
b) Es seien (S, d) ein kompakter metrischer Raum und k · k eine Norm aufC(S) so, dass C(S),k · k
ein Banachraum ist und die Auswertungsfunktionale C(S)3f 7→f(t)∈C
f¨ur allet ∈Sstetig sind. Zeigen Sie: Die Normenk·kundk·k∞sind ¨aquivalent.
A15: Es seien (X,k · kX) und (Y,k · kY) normierte R¨aume. Ist X ⊂ Y, so schreiben wir X ,→Y (X stetig eingebettet inY), falls j : (X,k · kX)→(Y,k · kY)
j(x) :=x (x∈X) stetig ist. Zeigen Sie:
a) Ist X ein Banachraum mit X ,→Y, X6=Y, so ist X von 1. Kategorie in Y. b) Ist 1≤p≤q ≤ ∞, so gilt`p ,→`q.
c) F¨ur p < q ist`p von 1. Kategorie in `q.
A16: Es seien fn: [−1,1]→R definiert durch fn(t) :=p
t2+ 1/n t ∈[−1,1]
.
Uberlegen Sie sich: Es gilt¨ fn → | · | gleichm¨aßig auf [−1,1] und fn0 → sign in L2[−1,1] .
