J. M¨uller / P. Beise Wintersemester 2009/2010 18.11.2009
4. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 24.11.2009 um 8:30 Uhr im Kasten 12
H10: Es seien (X,k · kX) und (Y,k · kY) normierte R¨aume.
IstX ⊂Y, so schreiben wirX ,→Y (Xstetig eingebettet inY), fallsj : (X,k·kX)→ (Y,k · kY)
j(x) :=x (x∈X) stetig ist. Zeigen Sie:
a) Ist X ein Banachraum mit X ,→Y, X6=Y, so ist X von 1. Kategorie in Y. b) Ist 1≤p≤q <∞, so gilt `p ,→`q.
c) F¨ur p < q ist`p von 1. Kategorie in `q.
H11: Es seien X ein linearer Raum ¨uberK und k · k, k · k0 Normen aufX.
Zeigen Sie
a) Sind (X,k · k) und (X,k · k0) Banachr¨aume und existiert ein c >0 mit kxk ≤ckxk0 (x∈X),
so sind k · kund k · k0 ¨aquivalent.
b) Ist k · k eine Norm auf C(S) wie in H. 7, so sind k · k und k · k∞ ¨aquivalent.
H12: Es seien fn: [−1,1]→R definiert durch fn(x) := p
t2+ 1/n t∈[−1,1]
. Uberlegen Sie sich, dass¨ fn → | · |gleichm¨aßig auf [−1,1] und dass
1
Z
−1
|sign −fn0|2 →0 (n→ ∞)
(d. h. fn0 →sign in L2[−1,1]).
