k ! , 8 k, 0, ¶<  sum H x + y L

k ! k! _j=0 j ! Hk − jL ! sum x

^k

k ! , 8 k, 0, ¶< sum y

^k

k ! , 8 k, 0, ¶<  sum H x + y L

^k

k ! , 8 k, 0, ¶<

‚

j=0 k x ^j

j!

y ^k−j Hk − jL ! H x + y L

^k

k !

ü Potenzreihen: Konvergenzradius

Konvergenzradius@a_, k_D := LimitBAbsB a

Ha ê. k → k + 1L F, k → ∞ F

ü Exponentialreihe

KonvergenzradiusB 1 k! , kF

¶

ü Cosinusreihe

KonvergenzradiusB H − 1L ^k H2 kL ! , kF

¶

ü Geometrische Reihe

Konvergenzradius@1, kD 1

ü Geometrische Reihe

KonvergenzradiusAH−1L ^k , kE 1

f = 1

1 + x ²

1

x ² + 1

plot1 = Plot@f, 8x, −2, 2<, PlotRange → 80, 1<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD

-2 -1

0 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

plot2 = Plot@Evaluate@Table@Normal@Series@f, 8x, 0, k<DD, 8k, 5, 10<DD, 8x, − 2, 2<D

-2 -1

1 2

-10 -5

5 10

ü Konvergenz nur im Konvergenzkreis Show@plot1, plot2D

-2 -1

0 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ü Der Integralsinus

ü Wir interessieren uns für eine Stammfunktion der Funktion ^Sin@xD

x :

‡ Sin@xD

x x

Si H x L

‡ 0

x Sin@tD

t t

Si H x L

FullForm@ % D SinIntegral @ x D

Plot@SinIntegral@xD, 8x, −10, 10<D

-10 -5

5 10

-1.5 -1.0 -0.5

0.5 1.0 1.5

ü Man nennt diese Funktion den Integralsinus. Die Sinusfunktion hat die Potenzreihendarstellung Sin@xD sumB H − 1L ^k

H2 k + 1L ! x ^{2 k+1} , 8k, 0, ∞<F sin H x L  sum H-1 L

^k

x ^2k+1

H 2 k + 1 L ! , 8 k, 0, ¶<

ü also Sin@xD

x sumB H − 1L ^k

H2 k + 1L ! x ^{2 k} , 8k, 0, ∞ <F sin H x L

x  sum H-1 L

^k

x ^2k

H 2 k + 1 L ! , 8 k, 0, ¶ <

ü und schließlich

‡ Sin@xD

x x sum B‡ H− 1L ^k

H2 k + 1L ! x ^{2 k} x, 8k, 0, ∞ <F Si H x L  sum H-1 L

^k

x ^2k+1

H 2 k + 1 L H 2 k + 1 L! , 8 k, 0, ¶ <

ü Die sich ergebende Potenzreihe lässt sich zur numerischen Berechnung des Integralsinus nutzen:

TableBSumB H− 1L ^k 1 ^{2 k+1}

H2 k + 1L H2 k + 1L! , 8k, 0, n<F, 8n, 1, 10<F êê N

8 0.944444, 0.946111, 0.946083, 0.946083, 0.946083, 0.946083, 0.946083, 0.946083, 0.946083, 0.946083 <

SinIntegral@1.0D 0.946083

f = Log@1 + xD 1 − x log H x + 1 L

1 - x

Series@f, 8x, 0, 10<D x + x ²

2 + 5 x ³ 6 + 7 x ⁴

12 + 47 x ⁵ 60 + 37 x ⁶

60 + 319 x ⁷

420 + 533 x ⁸

840 + 1879 x ⁹

2520 + 1627 x ¹⁰ 2520 + O I x ¹¹ M

ü Konvergenzgeschwindigkeit der alternierenden harmonischen Reihe bei der Approximation von ln(2)

S@n_D := ‚

k=0

n H−1L ^k 1 k + 1 S@100D − Log@2D êê N 0.00492599

S@1000D − Log@2D êê N 0.000499251

S@10 000D − Log@2D êê N 0.0000499925

S@100 000D − Log@2D êê N 4.99993μ 10

^-6

ü Graphische Darstellung der harmonischen Reihe und des Integralkriteriums

plot1 = PlotB 1

x , 8x, 0, 10<, PlotRange → 80, 1<, DisplayFunction → IdentityF;

plot2 = TableB

GraphicsB:RGBColor@1, 0, 0D, LineB::k, 1

k >, :k + 1, 1

k >, :k + 1, 1

k + 1 >>F>F, 8k, 1, 10<F;

plot3 = TableBGraphicsB

:RGBColor@0, 0, 1D, LineB::k, 1

k + 1 >, :k + 1, 1

k + 1 >, :k + 1, 1

k + 2 >>F>F, 8k, 1, 10<F;

Show@plot1, plot2, plot3, DisplayFunction → $DisplayFunctionD

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

ü Abschätzung der Approximation von ⁄ _k=1 ^∞ _k ¹

5

mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

‚

k=1

∞

1

k ⁵

zH 5 L

‚

k=1

∞

1 k ⁵ êê N 1.03693

ü Approximation durch 100 Summanden

‚

k=1 100 1

k ⁵

13 665 863 048 356 383 670 978 767 877 205 311 114 172 007 580 136 980 515 111 892 289 714 456 354 157 226 357 505 124 914 Ö 499 589 679 179 949 790 863 693 285 625 009 456 673 978 234 127 682 400 597 828 733 358 769 121 259 952 785 302 489 985 Ö 064 354 139 668 191 245 263 ê

13 179 185 351 019 348 393 269 383 948 867 758 575 959 215 380 852 037 147 528 985 841 492 344 929 720 350 742 751 601Ö 893 318 093 712 781 376 563 994 811 320 764 825 662 981 908 820 197 919 859 781 615 615 970 727 080 743 696 272 335 Ö 141 540 540 173 453 885 440 000 000

‚

k=1 100 1

k ⁵ êê N 1.03693

ü Fehlerabschätzung

‡ 101

∞

1 x ⁵ x

1 416 241 604

‡ 101

∞

1

x ⁵ x êê N 2.40245μ 10

^-9

ü Abschätzung der Approximation von ⁄ k=1 ∞ 1

k Log@kD mit dem Integralkriterium. Zunächst der exakte Wert:

‚

k=2

∞

1

k Log@kD

Sum::div : Sum does not converge. à

‚

k=2

¶

1

k log H k L

ü Den kennt Mathematica nicht. Anwendung des Integralkriteriums:

‡ 2

∞

1

x Log@xD x

Integrate::idiv : Integral of 1

x log H x _L does not converge on 8 2, ¶< . à

‡ 2

¶

1

x log H x L „ x

ü Mathematica behauptet, das Integral (und daher auch die Summe) divergiere. Nachweis über die Stammfunktion:

int = ‡ 1

x Log@xD x

log H log H x LL

Limit@int, x → ∞ D

¶

ü Ein Beispiel, bei welchem die Ableitungen nicht gleichmäßig konvergieren

f = Sin@n xD n sin H n x L

n

Limit@f, n → ∞D

nض

lim sin H n x L

n

Plot@Evaluate@Table@f, 8n, 1, 30<DD, 8x, 0, 2 π<, PlotRange → 8−1, 1<D

1 2 3 4 5 6

-1.0 -0.5

0.5 1.0

g = D@f, xD cos H n x L

Limit@g, n → ∞D

nض

lim cos H n x L

Plot@Evaluate@Table@g, 8n, 1, 50<DD, 8x, 0, 2 π<D

1 2 3 4 5 6

-1.0 -0.5

0.5 1.0

ü Ein Kehrwert

reihe1 = SeriesBf = E ^x − 1

x , 8x, 0, 10<F 1 + x

2 + x ² 6 + x ³

24 + x ⁴ 120 + x ⁵

720 + x ⁶ 5040 + x ⁷

40 320 + x ⁸

362 880 + x ⁹

3 628 800 + x ¹⁰

39 916 800 + O I x ¹¹ M

reihe2 = SeriesB 1

f , 8x, 0, 10<F 1 - x

2 + x ² 12 - x ⁴

720 + x ⁶

30 240 - x ⁸

1 209 600 + x ¹⁰

47 900 160 + O I x ¹¹ M reihe1 ∗ reihe2

1 + O I x ¹¹ M

PlotBEvaluateB: 1

f , Normal@reihe2D>F, 8x, − 10, 10<F

-10 -5

5 10

5 10 15 20

ü Der Konvergenzradius ist 2p. Man beachte immer: Außerhalb des Konvergenzbereichs wird die Funktion nicht von ihrer Taylorreihe approximiert!

ü Berechnung der Koeffizienten des Kehrwerts reihe2 = ‚

k=0 10

a@kD ∗ x ^k

aH10L x ¹⁰ + aH9L x ⁹ + aH8L x ⁸ + aH7L x ⁷ + aH6L x ⁶ + aH5L x ⁵ + aH4L x ⁴ + aH3L x ³ + aH2L x ² + aH1L x + aH0L

produkt = Expand@Normal@reihe1D ∗ reihe2D a H 10 L x ²⁰

39 916 800 + a H 9 L x ¹⁹

39 916 800 + a H 10 L x ¹⁹

3 628 800 + a H 8 L x ¹⁸

39 916 800 + a H 9 L x ¹⁸

3 628 800 + a H 10 L x ¹⁸

362 880 + a H 7 L x ¹⁷

39 916 800 + a H 8 L x ¹⁷ 3 628 800 + a H 9 L x ¹⁷

362 880 + a H 10 L x ¹⁷

40 320 + a H 6 L x ¹⁶

39 916 800 + a H 7 L x ¹⁶

3 628 800 + a H 8 L x ¹⁶

362 880 + a H 9 L x ¹⁶

40 320 + a H 10 L x ¹⁶

5040 + a H 5 L x ¹⁵

39 916 800 + a H 6 L x ¹⁵ 3 628 800 + a H 7 L x ¹⁵

362 880 + a H 8 L x ¹⁵

40 320 + a H 9 L x ¹⁵ 5040 + 1

720 a H 10 L x ¹⁵ + a H 4 L x ¹⁴

39 916 800 + a H 5 L x ¹⁴

3 628 800 + a H 6 L x ¹⁴

362 880 + a H 7 L x ¹⁴

40 320 + a H 8 L x ¹⁴ 5040 + 1

720 a H 9 L x ¹⁴ + 1

120 a H 10 L x ¹⁴ + a H 3 L x ¹³

39 916 800 + a H 4 L x ¹³

3 628 800 + a H 5 L x ¹³

362 880 + a H 6 L x ¹³

40 320 + a H 7 L x ¹³ 5040 + 1

720 a H 8 L x ¹³ + 1

120 a H 9 L x ¹³ + 1

24 a H 10 L x ¹³ + a H 2 L x ¹²

39 916 800 + a H 3 L x ¹²

3 628 800 + a H 4 L x ¹²

362 880 + a H 5 L x ¹²

40 320 + a H 6 L x ¹² 5040 + 1

720 a H 7 L x ¹² + 1

120 a H 8 L x ¹² + 1

24 a H 9 L x ¹² + 1

6 a H 10 L x ¹² + a H 1 L x ¹¹

39 916 800 + a H 2 L x ¹¹

3 628 800 + a H 3 L x ¹¹

362 880 + a H 4 L x ¹¹

40 320 + a H 5 L x ¹¹ 5040 + 1

720 a H 6 L x ¹¹ + 1

120 a H 7 L x ¹¹ + 1

24 a H 8 L x ¹¹ + 1

6 a H 9 L x ¹¹ + 1

2 a H 10 L x ¹¹ + a H 0 L x ¹⁰

39 916 800 + a H 1 L x ¹⁰

3 628 800 + a H 2 L x ¹⁰ 362 880 + a H 3 L x ¹⁰

40 320 + a H 4 L x ¹⁰ 5040 + 1

720 a H 5 L x ¹⁰ + 1

120 a H 6 L x ¹⁰ + 1

24 a H 7 L x ¹⁰ + 1

6 a H 8 L x ¹⁰ + 1

2 a H 9 L x ¹⁰ + a H 10 L x ¹⁰ + a H 0 L x ⁹

3 628 800 + a H 1 L x ⁹

362 880 + a H 2 L x ⁹

40 320 + a H 3 L x ⁹ 5040 + 1

720 a H 4 L x ⁹ + 1

120 a H 5 L x ⁹ + 1

24 a H 6 L x ⁹ + 1

6 a H 7 L x ⁹ + 1 2 a H 8 L x ⁹ + a H 9 L x ⁹ + a H 0 L x ⁸

362 880 + a H 1 L x ⁸

40 320 + a H 2 L x ⁸ 5040 + 1

720 a H 3 L x ⁸ + 1

120 a H 4 L x ⁸ + 1

24 a H 5 L x ⁸ + 1

6 a H 6 L x ⁸ + 1 2 a H 7 L x ⁸ + a H 8 L x ⁸ + a H 0 L x ⁷

40 320 + a H 1 L x ⁷ 5040 + 1

720 a H 2 L x ⁷ + 1

120 a H 3 L x ⁷ + 1

24 a H 4 L x ⁷ + 1

6 a H 5 L x ⁷ + 1

2 a H 6 L x ⁷ + a H 7 L x ⁷ + a H 0 L x ⁶

5040 + 1

720 a H 1 L x ⁶ + 1

120 a H 2 L x ⁶ + 1

24 a H 3 L x ⁶ + 1

6 a H 4 L x ⁶ + 1

2 a H 5 L x ⁶ + a H 6 L x ⁶ + 1

720 a H 0 L x ⁵ + 1

120 a H 1 L x ⁵ + 1

24 a H 2 L x ⁵ + 1

6 a H 3 L x ⁵ + 1

2 a H 4 L x ⁵ + a H 5 L x ⁵ + 1

120 a H 0 L x ⁴ + 1

24 a H 1 L x ⁴ + 1

6 a H 2 L x ⁴ + 1

2 a H 3 L x ⁴ + a H 4 L x ⁴ + 1

24 a H 0 L x ³ + 1

6 a H 1 L x ³ + 1

2 a H 2 L x ³ + a H 3 L x ³ + 1

6 a H 0 L x ² + 1

2 a H 1 L x ² + a H 2 L x ² + 1

2 a H 0 L x + a H 1 L x + a H 0 L liste = Take@CoefficientList@produkt, xD, 11D

: a H 0 L , a H 0 L

2 + a H 1 L , a H 0 L 6 + a H 1 L

2 + a H 2 L , a H 0 L 24 + a H 1 L

6 + a H 2 L 2 + a H 3 L , a H 0 L

120 + a H 1 L 24 + a H 2 L

6 + a H 3 L

2 + a H 4 L , a H 0 L 720 + a H 1 L

120 + a H 2 L 24 + a H 3 L

6 + a H 4 L 2 + a H 5 L , a H 0 L

5040 + a H 1 L 720 + a H 2 L

120 + a H 3 L 24 + a H 4 L

6 + a H 5 L

2 + a H 6 L , a H 0 L 40 320 + a H 1 L

5040 + a H 2 L 720 + a H 3 L

120 + a H 4 L 24 + a H 5 L

6 + a H 6 L 2 + a H 7 L , a H 0 L

362 880 + a H 1 L 40 320 + a H 2 L

5040 + a H 3 L 720 + a H 4 L

120 + a H 5 L 24 + a H 6 L

6 + a H 7 L 2 + a H 8 L , a H 0 L

3 628 800 + a H 1 L

362 880 + a H 2 L 40 320 + a H 3 L

5040 + a H 4 L 720 + a H 5 L

120 + a H 6 L 24 + a H 7 L

6 + a H 8 L 2 + a H 9 L , a H 0 L

39 916 800 + a H 1 L

3 628 800 + a H 2 L

362 880 + a H 3 L 40 320 + a H 4 L

5040 + a H 5 L 720 + a H 6 L

120 + a H 7 L 24 + a H 8 L

6 + a H 9 L 2 + a H 10 L>

sol = Solve@liste 81, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0<, Table@a@kD, 8k, 0, 10<DD :: a H 0 L Ø 1, a H 1 L Ø - 1

2 , a H 2 L Ø 1

12 , a H 3 L Ø 0, a H 4 L Ø - 1 720 , a H 5 L Ø 0, a H 6 L Ø 1

30 240 , a H 7 L Ø 0, a H 8 L Ø - 1

1 209 600 , a H 9 L Ø 0, a H 10 L Ø 1

47 900 160 >>

reihe2 ê. sol@@1DD x ¹⁰

47 900 160 - x ⁸

1 209 600 + x ⁶ 30 240 - x ⁴

720 + x ² 12 - x

2 + 1 reihe1 ∗ Hreihe2 ê. sol@@1DDL

1 + O I x ¹¹ M