21.Man bestimme Polynome {pk(x)}3k=0 mit Z 1 0 pk(x)pℓ(x) lnx dx= 0 f¨urk6=ℓ

Technische Universit¨at Graz WS 2021/2022

Institut f¨ur Angewandte Mathematik Blatt 7

Univ.–Prof. Dr. Olaf Steinbach 29.11.2021

Numerische Mathematik 1

19.F¨urn∈Nwerde die zusammengesetzte Integrationsformel Z 1

0

f(x)dx= 1 n

Xn

k=1

f(2k−1 2n ) +Rn

betrachtet. Man gebe eine Absch¨atzung f¨ur das Restglied Rn an.

20.F¨urn= 2m und k= 0, . . . , n zeige man Xn

i=1

cos(2k+ 1)iπ n+ 1 = 0.

21.Man bestimme Polynome {pk(x)}³k=0 mit Z ¹

0

pk(x)pℓ(x) lnx dx= 0 f¨urk6=ℓ.

K1 (Abgabe bis 29.11.2021, 8.00 Uhr)

a. F¨ur n ∈ N seien n+ 1 gleichm¨assig verteilte St¨utzstellen xk = k/n, k = 0, . . . , n, gegeben. Man bestimme die st¨uckweise konstanteL2 Projektion der Funktionf(x) =x, gebe eine Fehlerabsch¨atzung desL2 Fehlers an, und berechne den tats¨achlichen Fehler.

b.F¨ur die numerische Berechnung des Integrals

I = Z 1

0

f(x)

√x dx

leite man eine Integrationsformel mit zwei St¨utzstellen her, welche Polynome dritten Grades exakt integriert.