det(. . . , αa j + βb j , . . .) = α det(. . . , a j , . . .) + β det(. . . , b j , . . .) Antisymmetrie:

Determinante als antisymmetrische Multilinearform Die Determinante

det A = det(a 1 , . . . , a n )

einer quadratischen Matrix A mit Spalten a _j kann durch folgende Eigenschaften definiert werden.

Multilinearit¨ at:

det(. . . , αa j + βb j , . . .) = α det(. . . , a j , . . .) + β det(. . . , b j , . . .) Antisymmetrie:

det(. . . , a _j , . . . , a _k , . . .) = − det(. . . , a _k , . . . , a _j , . . .) , insbesondere det A = 0 bei zwei gleichen Spalten

Normierung:

det(e ₁ , . . . , e _n ) = 1, (e _k ) _{`</sub> = δ <sub>k`} .

Mit den definierenden Regeln l¨ asst sich eine Determinante als Summe n-facher Produkte entwickeln:

det A = X

p∈S

σ(p) a _p(1),1 · · · a _p(n),n ,

wobei ¨ uber alle Permutationen p von (1, . . . , n) summiert wird, und σ(p ) das Vorzeichen von p bezeichnet.

Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen

det A = |A| =

a _1,1 · · · a _1,n .. . .. . a n,1 · · · a n,n

.

Wegen der hohen Anzahl der Summanden (es exisitieren n!

Permutationen) ist die explizite Darstellung der Determinante f¨ ur die

praktische Berechnung schlecht geeignet. Sie ist jedoch unmittelbar mit

den definierenden Eigenschaften verkn¨ upft und wird zum Beweis sowie zur

Herleitung einiger anderer Eigenschaften ben¨ otigt.

Beweis

(i) Eigenschaften = ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:

Darstellung der Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren e _j ,

a _k =

n

X

j =1

a _{j ,k} e _j , und Multilinearit¨ at = ⇒

det A =

n

X

k

=1

· · ·

n

X

k

=1

a k

,1 · · · a k

,n det(e k

, . . . , e k

)

| {z }

=d

Antisymmetrie = ⇒

det(e _k

, . . . , e _k

) = 0, falls nicht alle e _k

verschieden sind, d.h. nur Permutationen sind zu ber¨ ucksichtigen, k = (p(1), . . . , p (n)), p ∈ S _n d _k = (−1) ^τ(k) det(e ₁ , . . . , e _n ), wobei τ (k) die modulo 2 eindeutig bestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um die Einheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung = ⇒

d _k = det(e _p(1) , . . . , e _p(n) ) = σ(p) det(e 1 , . . . , e n ) = σ(p)

(ii) Entwicklung = ⇒ Eigenschaften:

Multilinearit¨ at ⇐ = Produkte

a k

,1 · · · a k

,n

enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element.

Antisymmetrie ⇐ = Vertauschung von Spalten ¨ andert Vorzeichen der Permutation.

Normierung ⇐ = F¨ ur die Einheitsmatrix existiert nur ein nichttrivialer Summand:

a _1,1 · · · a _n,n = 1 · · · 1 = 1 .

Beispiel

Determinante einer (2 × 2)-Matrix:

a b c d

= ad − bc

(i) Berechnung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae 1 + ce 2 , be 1 + de 2 ) = a det(e 1 , be 1 + de 2 ) + c det(e 2 , be 1 + de 2 )

= ab det(e ₁ , e ₁ ) + ad det(e ₁ , e ₂ ) + cb det(e ₂ , e ₁ ) + cd det(e ₂ , e ₂ )

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0 = ad − bc (ii) Entwicklung nach Permutationen:

Dimension n = 2 n! = 2 Permuationen p = (1, 2) und q = (2, 1)

a _1,1 a _1,2 a 2,1 a 2,2

= σ(p)a _p(1),1 a _p(2),2 + σ(`)a _q(1),1 a _q(2),2

= 1 · a _1,1 a _2,2 + (−1) · a _2,1 a _1,2 = ad − cb

Beispiel

Die Determinante einer 3 × 3-Matrix ist eine Summe von Produkten, die den ver- schiedenen Diagonalen entsprechen. Die- ses sogenannte Sarrus-Schema ist in der Abbildung illustriert.

|A| =

+a 1,1 a 2,2 a 3,3 +a 2,1 a 3,2 a 1,3 +a 3,1 a 1,2 a 2,3

−a _3,1 a _2,2 a _1,3 −a _1,1 a _3,2 a _2,3 −a _2,1 a _1,2 a _3,3 konkrete Matrix:

8 1 6 3 5 7 4 9 2

= (8 · 5 · 2 + 3 · 9 · 6 + 4 · 1 · 7)

−(4 · 5 · 6 + 8 · 9 · 7 + 3 · 1 · 2) = 360

Uberpr¨ ¨ ufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen

|A| = X

p∈S

σ(p) a _p(1),1 a _p(2),2 a _p(3),3

6 Summanden

p Vertauschungen σ(p) Produkt

(1, 2, 3) + a 1,1 a 2,2 a 3,3

(2, 3, 1) → (3, 2, 1) → (1, 2, 3) + a _2,1 a _3,2 a _1,3 (3, 1, 2) → (2, 1, 3) → (1, 2, 3) + a _3,1 a _1,2 a _2,3 (3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a 3,1 a 2,2 a 1,3

(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a _1,1 a _3,2 a _2,3

(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a _2,1 a _1,2 a _3,3

Berechnung von Determinanten

Die Determinante einer Matrix bleibt bei Addition eines Vielfachen einer Spalte oder Zeile zu einer anderen Spalte oder Zeile unver¨ andert. Sie

¨ andert ihr Vorzeichen bei Vertauschung von Spalten oder Zeilen. Analog zum Gauß-Algorithmus f¨ ur die L¨ osung linearer Gleichungssysteme kann man mit diesen Operationen die Determinante auf Dreiecksform transformieren,

a _1,1 · · · a _1,n .. . .. . a _n,1 · · · a _n,n

→

d _1,1 · · · d _1,n

O .. .

O O d _n,n

, d _j,k = 0 f¨ ur j > k ,

und als Produkt der Diagonalelemente berechnen:

(−1) ^` det A = det D = d _1,1 · · · d _n,n

mit ` der Anzahl der Spalten- bzw. Zeilen-Permutationen.

Eine Determinante ist genau dann nicht Null, wenn die Spalten (Zeilen) eine Basis bilden. Insbesondere ist die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Spalten oder Zeilen Null.

Es gelten die folgenden Regeln:

det(AB) = (det A)(det B) det A = det A ^t

det(A ⁻¹ ) = (det A) ⁻¹

Beweis

(i) Transposition:

Entwicklung nach Permutationen det A = X

p∈S

σ(p) a _p(1),1 · · · a _p(n),1

Umordnung der Faktoren (Spaltenindex 1, . . . , n → Spaltenindex p ⁻¹ (1), . . . , p ⁻¹ (n))

a _p(1),1 · · · a _p(n),1 = a _1,p

₍₁₎ · · · a _n,p

_(n) mit p ⁻¹ der inversen Permutation zu p

σ(p) = σ(p ⁻¹ )

X

p

σ(p ⁻¹ ) a ^t _p

(1),1 · · · a ^t _p

(n),1 = det A ^t ,

d.h. det A = det A ^t

(ii) Addition von Spaltenvielfachen:

det(. . . , a _j + sa _k , . . . , a _k , . . .) =

det(. . . , a _j , . . . , a _k , . . .) + s det(. . . , a _k , . . . , a _k , . . .)

| {z }

=0

aufgrund der Linearit¨ at und Antisymmetrie der Determinante (iii) Basis-Test:

Die lineare H¨ ulle der Spalten einer Matrix A bleibt bei Addition von Spaltenvielfachen und Spaltenvertauschungen unver¨ andert, damit auch der Rang, ebenso wie der Betrag der Determinante.

Die Spalten a _k bilden genau dann eine Basis, wenn Rang A maximal ist, d.h. mit der Dimension n von A ¨ ubereinstimmt.

Damit gilt

{a ₁ , . . . , a _n } Basis ⇐⇒ Rang A = Rang D = n

⇐⇒ d _k,k 6= 0, k = 1, . . . , n

⇐⇒ |d _1,1 · · · d n,n | = | det D| = | det A| 6= 0

(v) Produkte von Matrizen:

det A = 0 ⇐⇒ a 1 , . . . , a n linear abh¨ angig

= ⇒ Ab ₁ , . . . , Ab _n linear abh¨ angig, da die Spalten Ab _k von AB Linearkombinationen der Spalten a ` von A sind

= ⇒ det(AB) = det(Ab 1 , . . . , Ab n ) = 0 = det A det B X f¨ ur det A 6= 0 definiere

d (b 1 , . . . , b n ) = det(AB )/ det A

und verifiziere die definierenden Eigenschaften der Determinante Antisymmetrie und Normierung unmittelbar ersichtlich

zum Beweis der Linearit¨ at bemerke f¨ ur b _k = αu + βv

d (. . . , αu + βv, . . .) = det(. . . , αAu + βAv , . . .)/ det A

= αd (. . . , u, . . .) + β d (. . . , v, . . .) (v) Inverse:

AA ⁻¹ = E = ⇒

1 = det E = det(AA ⁻¹ ) = det(A) det(A ⁻¹ )

Beispiel

Berechnung der Determinante von

A =









1 4 0 2 0 8 0 4 3 3 3 2 0 6 0 4









durch Transformation auf Dreiecksform mit Gauß-Operationen (Skalierung, Addition von Zeilenvielfachen und Zeilenvertauschungen)

Zeile 3 - 3 × Zeile 1

det A = det









1 4 0 2

0 8 0 4

0 −9 3 −4

0 6 0 4









Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4

det A = − det









1 2 0 4

0 4 0 8

0 −4 3 −9

0 4 0 6









Zeile 3 + Zeile 2, Zeile 4 - Zeile 2

det A = − det









1 2 0 4

0 4 0 8

0 0 3 −1 0 0 0 −2









= −1 · 4 · 3 · (−2) = 24