07. Determinanten
Im folgenden betrachten wir stets reelle quadratische n × n Matrizen.
Analoge Aussagen gelten auch, wenn eine komplexe Matrix vorliegt.
Definition. Die Determinante det ist eine Abbildung det : M (n × n) → R , A 7→ det A = det(a
ij) =
a
11· · · a
1n· · · . . . · · · a
n1· · · a
nnBemerkung. Sind die Eintr¨ age der Matrix komplexe Zahlen, dann ist auch die Determinante i.a. eine komplexe Zahl.
In welcher Weise die Determinante gebildet wird, soll nun im Einzelnen erkl¨ art werden.
n=1: A = (a
11) , det A = a
11n=2: A =
( a
11a
12a
21a
22)
, det A =
a
11a
12a
21a
22= a
11a
22− a
21a
12n=3: A =
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33
det A =
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33= a
11a
22a
23a
32a
33− a
12a
21a
23a
31a
33+a
13a
21a
22a
31a
32=
= a
11(a
22a
33− a
32a
23) − a
12(a
21a
33− a
31a
23) + a
13(a
21a
32− a
31a
22) =
= a
11a
22a
33+ a
12a
23a
31+ a
13a
21a
32− a
11a
23a
32− a
12a
21a
33− a
13a
22a
31Geometrisch interpretiert gibt die Determinante einer 3 × 3 Matrix das
orientierte Volumen des von den drei Spaltenvektoren der Matrix aufge-
spannten Parallelepipeds an (siehe Spatprodukt).
V = ⟨ ⃗ s
1, (⃗ s
2× ⃗ s
3) ⟩ =
⟨
a
11a
21a
31
,
a
12a
22a
32
×
a
13a
23a
33
⟩
=
=
⟨
a
11a
21a
31
,
a
22a
23a
32a
33−
a
12a
13a
32a
33a
12a
13a
22a
23
⟩
=
⟨
a
11a
21a
31
,
a
22a
33− a
32a
23− a
12a
33+ a
32a
13a
12a
23− a
22a
13
⟩
=
= a
11a
22a
33+ a
12a
23a
31+ a
13a
21a
32− a
11a
23a
32− a
12a
21a
33− a
13a
22a
31Bemerkung. Die Berechnung einer 3 × 3 Matrix kann relativ einfach
¨
uber die Regel von Sarrus durchgef¨ uhrt werden.
Dabei werden die erste und zweite Spalte noch einmal neben der Matrix angeschrieben
a
11a
12a
13a
21a
22a
23a
31a
32a
33a
11a
12a
21a
22a
31a
32Aus der so erhaltenen 3 × 5 Matrix addiert man die Produkte der Elemente in den drei ”Hauptdiagonalen” und substrahiert davon die Produkte der Elemente in den drei ”Nebendiagonalen”.
Wir betrachten nun eine allgemeine Matrix A = (a
ij) ∈ M (n × n) .
Definition. Ist a
ijein Element der Matrix A , dann heißt A
′ijdas
algebraische Komplement von a
ij. Dabei ist
A
′ij=
a
11· · · a
1,j−1a
1,j+1· · · a
1n... ... ... ...
a
i−1,1· · · a
i−1,j−1a
i−1,j+1· · · a
i−1,na
i+1,1· · · a
i+1,j−1a
i+1,j+1· · · a
i+1,n... ... ... ...
a
n1· · · a
n,j−1a
n,j+1· · · a
nnDas heißt, man streicht in der Matrix A die i − te Zeile und die j − te Spalte und bildet von der so erhaltenen (n − 1) × (n − 1) Matrix die Determinante.
Satz. (Entwicklungssatz nach Laplace)
Eine Determinante kann nach jeder Zeile bzw. jeder Spalte ”entwickelt”
werden. Es gilt
Entwicklung nach der i − ten Zeile: det A =
∑
n j=1( − 1)
i+j· a
ij· A
′ijEntwicklung nach der j − ten Spalte: det A =
∑
n i=1( − 1)
i+j· a
ij· A
′ijDabei sind die Vorzeichen gem¨ aß dem folgenden Vorzeichenschema definiert
+ − + − · · ·
− + − · · · + − · · ·
− · · ·
· · ·
An der i − ten Zeile und der j − ten Spalte findet man also das Vorzeichen ( − 1)
i+j.
Bemerkung. Mit diesem Satz kann nun sehr einfach die Determinante einer Dreiecksmatrix bestimmt werden.
Eine obere Dreiecksmatrix (analog untere Dreiecksmatrix) ist eine Ma-
trix der Form
A =
a
11a
12· · · · a
1n0 a
22· · · · a
2n0 0 . . . ...
... ... 0 . . . ...
0 0 0 · · · a
nn
Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale sind gleich Null. Elemente der Hauptdiagonale k¨ onnen Null oder ungleich Null sein.
Sukzessive Entwicklung nach der ersten Spalte liefert det A = a
11· a
22· a
33. . . · a
nn=
∏
n k=1a
kkInsbesondere ergibt sich f¨ ur die Einheitsmatrix I dass det I = 1 .
Rechenregeln f¨ ur Determinanten.
1. Stimmen zwei Spalten (bzw. zwei Zeilen) von A ¨ uberein, dann ist det A = 0 .
A = (⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) ⇒ det A = 0
2. Vertauscht man in der Matrix zwei verschiedene Spalten (bzw. Zeilen), dann ¨ andert sich das Vorzeichen der Determinante
det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
j, . . . , ⃗ s
n) = − det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
j, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) 3. Die Determinante ist linear in jeder Spalte (bzw. Zeile)
(a) det(⃗ s
1, . . . , λ · ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) = λ · det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) λ ∈ R (b) det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i+ ⃗ σ
i, . . . , ⃗ s
n) =
det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) + det(⃗ s
1, . . . , ⃗ σ
i, . . . , ⃗ s
n) 4. det(λ · A) = λ
n· det A λ ∈ R
5. Addiert man das λ − fache (λ ∈ R ) der i − ten Spalte (bzw. Zeile) zur
j − ten Spalte (bzw. Zeile), wobei i ̸ = j , dann ¨ andert sich der Wert der
Determinante nicht
det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
j+ λ · ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
n) = det(⃗ s
1, . . . , ⃗ s
i, . . . , ⃗ s
j, . . . , ⃗ s
n) 6. det(A · B) = det A · det B f¨ ur A, B ∈ M (n × n)
7. det(A + B) ̸ = det A + det B 8. det(A
T) = det A
Bemerkung. Bei der praktischen Berechnung von Determinanten kom- biniert man meist das Gauss’sche Eliminationsverfahren mit dem Entwick- lungssatz. Durch Erzeugung von m¨ oglichst vielen Nullen in einer Zeile bzw. Spalte vereinfacht sich die Anwendung des Entwicklungssatzes ganz wesentlich.
Die Cramer’sche Regel.
Ist anwendbar f¨ ur Gleichungssysteme der Form
A · ⃗ x = ⃗b , A ∈ M (n × n) , ⃗b ∈ R
nund rang A = n ( ⇒ det A ̸ = 0) Dann ist das System eindeutig l¨ osbar und die i − te Komponente x
ides L¨ osungsvektors ⃗ x ist gegeben durch
x
i=
a
11· · · a
1,i−1b
1a
1,i+1· · · a
1n... ... ... ... ...
a
n1· · · a
n,i−1b
na
1,i+1· · · a
nn
detA
, i = 1, . . . , n
Die Determinante im Z¨ ahler erh¨ alt man, indem die i − te Spalte von A durch den Vektor ⃗b ersetzt wird.
Beispiel.
x
1+ x
2= 2
x
1− x
2= 3 ⇒ A =
( 1 1 1 − 1
)
, ⃗b = ( 2
3
)
Dann ist det A = − 2 und
x
1=
2 1
3 − 1
−2
=
52, x
2=
1 2
1 3
−2
