(1) Betrachten Sie die Abbildung det : R

Studienvertretung Mathematik

Karl-Franzens Universität Graz mathe

Analysis II – WS 12/13 Analysis II - Ring VO-Klausur vom 14.3. 2013

(1) Betrachten Sie die Abbildung det : R

→ R . Aus der Definition der Determinante als Summe von Produkten der Matrixelemente folgt ja sofort, dass die Determinantenfunktion det(A) stetig nach allen Matrixelementen a

differenzierbar ist. Geben Sie eine Formel für die Richtungsableitung D det(A) · B mit B ∈ R

an und beweisen Sie diese.

(2) Formulieren und beweisen Sie den Satz von der monotonen Konvergenz für messbare, nichtnega- tive Funktionen auf R

.

(3) a) Sei P ∈ H

ein halboffener Quader in R

und sei ˜ > 0 gegeben. Beweisen Sie, dass ein offener Quader ˜ P existiert mit P ⊂ ˜ P und vol( ˜ P \ P) < . ˜

b) Sei A ⊂ M eine Lebesgue-messbare Teilmenge des R

mit vol(A) < ∞ . Beweisen Sie, dass zu jedem > 0 eine offene Menge O ⊂ R

existiert mit A ⊂ O und vol(O \ A) < . (4) Sei M

die Lebegue σ-Algebra auf R

und M

die Lebegue σ-Algebra auf R

. Definieren

Sie die Produkt σ-Algebra M

× M

auf R

× R

. Für Q ∈ M

× M

, x ∈ R

und y ∈ R

definieren Sie die Schnitte Q

∈ M

bzw. Q

∈ M

. Mit ϕ(x) = vol

( Q

) und ψ(y) = vol

( Q

) beweisen Sie, dass

Z

Rⁿ

ϕ(x)dx = Z

R^m

ϕ(y)dy gilt.

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