J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 05.12.2018
6. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A20: Es sei (X,k · kX) ein normierter Raum. Zeigen Sie:
a) Ist X00 := X00
und k · kX00 die Operatornorm auf X0, so ist durch ι(x) :=hx,·i (x∈X)
eine lineare Isometrie ι :X →X00 definiert.
b) (ι(X),k · kX00) ist ein Banachraum und X isometrisch isomorph zum dichten Teilraum ι(X).
A21: Es seien (X, d) ein metrischer Raum undM ⊂X. Zeigen Sie a) M ist genau dann relativ kompakt, wenn M kompakt ist.
b) Ist M relativ kompakt, so istM auch pr¨akompakt.
A22: a) Es seien (X, dX) und (Y, dY) metrische R¨aume. Zeigen Sie: Ist f : X → Y stetig und ist A⊂X (relativ) kompakt, so ist auch f(A) (relativ) kompakt.
b) Es seien (X,k · k) ein normierter Raum. Beweisen Sie: Sind A, B ⊂ X und Λ⊂K (relativ) kompakt, so sind auch ΛA und A+B (relativ) kompakt.
