x0 stetig sind und g(x0) 6= 0 erf¨ullen, l¨ost man durch Trennung der Variablen mit Hilfe der Stammfunktionen G(x

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 11

Abgabe bis Do, 02.07., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1 Eine Anfangswertproblem der Form

x⁰(t) =f(t)g(x), x(t₀) =x₀

mit Funktionen f, g, die in Umgebungen von t₀ bzw. x₀ stetig sind und g(x₀) 6= 0 erf¨ullen, l¨ost man durch Trennung der Variablen mit Hilfe der Stammfunktionen

G(x) :=

Z x x0

dy

g(y) und F(t) :=

Z t t0

f(s)ds.

(a) Zeigen Sie, dass G auf einer Umgebung von x₀ umkehrbar ist, und die Funktion x(t) :=G⁻¹(F(t)) das gegebene Anfangswertproblem l¨ost.

(b) L¨osen Sie das Anfangswertproblemx⁰(t) = e^xsin(t),x(0) =x0im Fallx0<−ln 2.

F¨ur welche tist x(t) wohldefiniert?

Aufgabe 2 Sei 0< r < RundT ⊆R³die Menge aller Punkte, die man von (r+R,0,0) aus durch Nacheinanderausf¨uhrung

• einer Drehung um die Achse t=R, z = 0 um einen Winkel θ∈[0,2π) und

• einer Drehung um diez-Achse um einen Winkelφ∈[0,2π) erreichen kann.

(a) Skizzieren Sie die MengeT. (b) Zeigen Sie mit Hilfe der Funktion

f:R³ →R, (x, y, z)7→(p

x²+y²−R)²+z²−r², dass T ⊆R³ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 2 ist.

(c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, auf den (r+R,0,0) nach den oben angegebenen Drehungen abgebildet wird, in Abh¨angigkeit vonφ undθ.

Aufgabe 3 Wir betrachten die DGL x⁰(t) = Ax(t) mit A ∈ Mat_n,n(C). Sei v ein Eigenvektor vonA zum Eigenwertλ. Zeigen Sie:

(a) Die Funktion z(t) := e^λtv eine L¨osung der DGL (ohne Verwendung der Matrix- Exponentialfunktion) und es gilt z(t) = e^tAv.

(b) Ist A reell undx eine komplex-wertige L¨osung der DGL, so sind auch der Real- und der Imagin¨arteil von x L¨osungen der DGL. Insbesondere sind, wenn A reel ist und u=v+iw mitv, w∈Rⁿ sowie λ=α+iβ mitα, β∈R, die Funktionen

x(t) = e^αt(cos(βt)v−sin(βt)w) und y(t) = e^αt(cos(βt)w+ sin(βt)v) reelle L¨osungen der gegebenen DGL.

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(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Matrix-Exponentialfunktion n linear unabh¨angige L¨osungen der DGL im Fall

A=



















λ 1 0 · · · 0 0 . .. ... ... ...

... . .. ... ... 0 ... . .. ... 1 0 · · · 0 λ



















mit λ∈R. Schreiben Sie dazu A =λE_n+N, wobei E_n die Einheitsmatrix und N nilpotent ist, und verwenden Sie exp^tA = exp^tλexp^tN.

Aufgabe 4 Wir betrachten eine DGL der Form

x⁽ⁿ⁾(t) +a₁x⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a_nx(t) = 0.

Zeigen Sie:

(a) Istλeine reelle Nullstelle des Polxnoms

P(t) =tⁿ+a₁tⁿ⁻¹+· · ·+an−1t+a_n, so l¨ostx(t) = e^λt die gegebene DGL.

(b) Die Funktionen fj(t, λ) :=t^je^λt erf¨ullen f¨ur alle j, l∈N0

∂

∂t l

fj(t, λ) = ∂

∂λ j

λ^le^λt

.

(Hinweis: Satz von Schwarz.)

(c) Istλ₀ einek-fache reelle Nullstelle dieses Polynoms, so l¨osen die Funktion x(t) = t^je^λ0tf¨ur alle j= 0, . . . , k−1 die gegebene DGL.

(Hinweis: Zeigen Sie, dass x^(l)(t) = _∂λ^∂ j _λ=λ

0 λ^le^λt

f¨ur allel und somitx⁽ⁿ⁾+ a₁x⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a_nx(t) = _∂λ^∂ j

λ=λ0(P(λ)e^λt).) (d) L¨osen Sie das Anfangswertproblem

x⁰⁰(t)−2x⁰(t)−8x(t) = 0, x(0) = 0, x⁰(0) = 6.

Zusatzaufgabe 5 BezeichneS(n) die reellen, symmetrischen n×n-Matrizen. Berech- nen Sie die Ableitung der Funktion

f: Matn,n(R)→S(n), A7→A^>A,

und zeigen Sie, dass jedes A∈GLn(R) ein regul¨arer Punkt vonf ist.

(Hinweis: Betrachten Sie zu X∈S(n) das Produkt ¹₂(A^>)⁻¹X.)

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