betrachten wir das Anfangswertproblem x0 =g(t)x+h(t)xα, x(u) =v

J. M¨uller SoSe 2018 10.04.2018 1. ¨Ubung zur Vorlesung Differenzialgleichungen

Abgabe: Bis Dienstag, 17.04.2010, 8:30 Uhr im Kasten E5 Haus¨ubungen

A1: Berechnen Sie die (nach Satz 1.3 auf I existierenden) L¨osungen der folgenden An- fangswertprobleme:

a) I = (−1,1), x⁰ = tx+ 1

1−t²,x(0) =v ∈R, b) I = (0,∞), z⁰ =−iz/t²,z(1/π) = −1.

A2: (Bernoulli-Diffenzialgleichung)

Es seien T ⊂ R offen und g, h : T → R stetig. Weiter sei α ∈ R \ {1}. F¨ur (u, v)∈T ×(0,∞) betrachten wir das Anfangswertproblem

x⁰ =g(t)x+h(t)x^α, x(u) =v. (1)

Zeigen Sie, dass ϕ > 0 genau dann L¨osung von (1) ist, wenn ϕ^1−α L¨osung des (linearen) Anfangswertproblems

x⁰ = (1−α)g(t)x+ (1−α)h(t), x(u) =v^1−α (2) ist.

A3: ¨Uberlegen Sie sich, dass das Anfangswertproblem

x⁰ =x(1−x), x(0) =v >0 (3)

von der Form (1) gem¨aß Aufgabe A2 ist, stellen Sie das entsprechende lineare An- fangswertproblem (2) auf, und l¨osen Sie (2) und damit (3) (noch einmal).

A4: Bestimmen Sie jeweils eine L¨osung der folgenden Anfangswertprobleme a) x⁰ =e^t(1 +x²),x(π/4) = 1,

b) x⁰ =−t/x, x(0) =v >0.