( u ( x ) v ( x )) dx =[ u ( x ) · v ( x )] , Z u ( x ) v ( x ) dx = ( u ( x ) v ( x )) dx − u ( x ) v ( x ) dx. R R R u ( x ) v ( x )=( u ( x ) v ( x )) − u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) ( u ( x ) · v ( x )) = u ( x ) v ( x )+ u ( x ) v ( x ) . u ( x ) v

8.4 Integrationsmethoden

Die Integration von Funktionen erweist sich in praktischen F¨allen oftmals schwieriger als die Differenziation. W¨ahrend sich das Differenzieren durch Anwendung einfacher Regeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel) erledigen l¨asst, ist das Integrieren mit gr¨oßeren Schwierigkeiten verbunden. Trotzdem kann in vielen F¨allen durch eine der folgenden Integrationsmethoden eine Stammfunktion gefunden werden.

8.4.1 Partielle Integration

Diepartielle Integrationist das Pendant zur Produktregel der Differenziation, welche besagt, dass

(u(x)·v(x))⁰=u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x).

Wir l¨osen diese Gleichung nach u(x)v⁰(x)auf und integrieren anschließend u(x)v⁰(x) = (u(x)v(x))⁰−u⁰(x)v(x)

Rb

a u(x)v⁰(x)dx = Rb

a(u(x)v(x))⁰ dx−Rb

au⁰(x)v(x)dx.

Nach dem Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist Z b

a

(u(x)v(x))⁰ dx= [u(x)·v(x)]^b_a,

so dass gilt

Partielle Integration:

Z b

a

u(x)v⁰(x)dx= [u(x)v(x)]^b_a− Z b

a

u⁰(x)v(x)dx.

Bemerkungen:

(1) Ob die Integration nach der Methode der partiellen Integration gelingt, h¨angt von der ”richtigen” (geeigneten) Wahl vonu(x)undv⁰(x)ab.

(2) In manchen F¨allen muss das Integrationsverfahren mehrmals angewendet werden, ehe man auf ein Grundintegral st¨oßt.

(3) Insbesondere bei der Integration von Funktionen, die als einen Faktor ei- ne trigonometrische Funktion enthalten, tritt nach ein- bzw. mehrmaliger partieller Integration der Fall auf, dass das zu berechnende Integral, mit einem Faktor versehen, auf der rechten Seite wieder auftritt. In diesem Fall l¨ost man die Gleichung nach dem gesuchten Integral auf.

(4) Die Formel der partiellen Integration gilt auch f¨ur unbestimmte Integrale Z

u(x)v⁰(x)dx=u(x)v(x)− Z

u⁰(x)v(x)dx.

Beispiele 8.13 (Partielle Integration):

1 Gesucht ist Z 2

1

x e^xdx.

Wir setzen

u(x) =x ⇒ u⁰(x) = 1 v⁰(x) =e^x ⇒ v(x) =e^x

und erhalten Z 2

1

x e^xdx= [x e^x]²₁− Z 2

1

1·e^xdx= [x e^x]²₁−[e^x]²₁

= 2e²−e¹−e²+e¹=e².

Ferner gilt Z

x e^xdx=e^x(x−1) +C.

2 Gesucht ist Z

x²cosx dx.

Wir setzen

u(x) =x² ⇒ u⁰(x) = 2x v⁰(x) = cosx ⇒ v(x) = sinx und erhalten

Z

x²cosx dx=x²sinx− Z

2xsinx dx.

Nochmalige partielle Integration vonR

2xsinx dxliefert mit u(x) = 2x ⇒ u⁰(x) = 2

v⁰(x) = sinx ⇒ v(x) =−cosx

Z

x²cosx dx =x²sinx−

2x(−cosx)− Z

2 (−cosx)dx

=x²sinx+ 2xcosx−2 sinx+C.

Tipp:In der Regel setzt manu(x)gleich dem Potenzfaktor, um so durch mehrmalige partielle Integration diesen Term zu reduzieren. In manchen F¨allen f¨uhrt aber v⁰(x) = 1⇒v(x) =xzum Ziel. In anderen wiederum taucht das zu berechnende Integral auf der rechten Seite der Gleichung wieder auf. Dann l¨ost man die Gleichung nach dem Integral auf:

3 Gesucht ist Z

lnx dx.

Mit

u(x) = lnx ⇒ u⁰(x) = 1 x v⁰(x) = 1 ⇒ v(x) =x

folgt

Z

lnx dx=xlnx− Z 1

x·x dx=xlnx−x+C

=x(lnx−1) +C.

4 Gesucht ist Z

cos²x dx= Z

cosx·cosx dx.

Mit

u(x) = cosx ⇒ u⁰(x) =−sinx v⁰(x) = cosx ⇒ v(x) = sinx ist

Z

cos²x dx= cosxsinx− Z

−sinxsinx dx= cosxsinx+ Z

sin²x dx.

Wir ersetzensin²x= 1−cos²x.

⇒ Z

cos²x dx= cosxsinx+x− Z

cos²x dx.

Addieren wir R

cos²x dx auf beiden Seiten und dividieren anschließend durch den Faktor 2, folgt

Z

cos²x dx= ¹₂ (sinxcosx+x) +C.

8.4.2 Integration durch Substitution

Ahnlich wie die partielle Integration auf der Produktregel basiert, l¨¨ asst sich aus der Kettenregel dieIntegralsubstitutions-Methodeherleiten. Mity=f(x) folgt f¨ur die Ableitung der Funktiong(y) =g(f(x))nach x:

d

dxg(f(x)) =g⁰ (f(x))·f⁰(x). Hieraus ergibt sich dann durch Integration:

Substitutionsregel f¨ur unbestimmte Integrale:

Z

g (f(x))f⁰(x)dx=G(f(x)) +C, wennGeine Stammfunktion vong ist.

In der folgenden Tabelle sind einfache Spezialf¨alle dieser allgemeinen Substi- tutionsregel angegeben. Sie lassen sich in konkreten Beispielen einfacher an- wenden. Man beachte, dass die F¨alle (A),(B)und(C)als Spezialf¨alle in(D) enthalten sind.

Integraltyp Substitution L¨osung (A)

Z

g (a x+b)dx y=a x+b ¹_aG(a x+b) +C

(B) Z

f(x)f⁰(x)dx y=f(x) ¹₂f²(x) +C

(C)

Z f⁰(x)

f(x) dx y=f(x) ln|f(x)|+C

(D) Z

g (f(x))f⁰(x)dx y=f(x) G(f(x)) +C

Tabelle 8.4: Einfache Integralsubstitutionen

Beispiele 8.14 (Integralsubstitutionen nach Tabelle 8.4):

(A1) Z 3

2

(2x−3)⁴ dx=?

Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion und setzen dann zur Berech- nung des bestimmten Integrals die obere und untere Integrationsgrenze ein.

Dazu substituiert man y= 2x−3 und ersetzt jeden Term des Integrals, der die Integrationsvariable x enth¨alt, durch einen entsprechenden Term mit y. Insbesondere muss auch das Differenzial dx durch einen entspre- chenden Term mitdy ersetzt werden.

Ausy= 2x−3 ,→y⁰=_dx^dy = 2 ,→dx=¹₂dy. Somit ist Z

(2x−3)⁴dx= Z

y^{4 1}₂dy=¹₂ Z

y⁴dy= ¹₂ ¹₅y⁵+C.

Nach Berechnung des Integrals wird durch R¨ucksubstitutionywieder durch 2x−3 ersetzt:

Z

(2x−3)⁴dx= ₁₀¹ (2x−3)⁵+C.

Das bestimmte Integral ist daher Z 3

2

(2x−3)⁴ dx=h

1

10 (2x−3)⁵i3 2

=₁₀¹ [243−1] = 24.2.

(A1’) F¨uhrt man alternativ die Substitutionsmethode direkt beim bestimmten Integral

Z 3 2

(2x−3)⁴dx

durch, m¨ussen auch die Integrationsgrenzen ersetzt werden! Es erfolgt dann nach der Berechnung des substituierten Integrals keine R¨ucksubstitution mehr. Ausy = 2x−3 folgt f¨ur die untere Grenzex_u = 2,→y_u = 1 und f¨ur die obere Grenzexo= 3,→yo= 3:

Z 3 2

(2x−3)⁴dx= Z 3

1

y⁴1

2dy=₁

10y⁵3

1= ₁₀¹ [243−1] = 24.2.

(A2) Z 1

0

1

1 + 4xdx=?

Man substituiere y= 1 + 4x ,→y⁰ = dy

dx = 4 ,→dx= ¹₄dy.

,→ Z 1

1 + 4xdx= Z 1

y ·1 4dy= 1

4 Z 1

ydy=1

4 ln|y|+C.

Durch R¨ucksubstitution y= 1 + 4xfolgt Z 1

1 + 4xdx=1

4 ln|1 + 4x|+C.

F¨ur das bestimmte Integral gilt Z 1

0

1

1 + 4xdx= 1

4 ln|1 + 4x|

¹

0

=1

4 ln 5−1

4 ln 1 = 1 4 ln 5.

(B1) Z

sinxcosx dx=?

Man substituiere y= sinx ,→y⁰= dy

dx = cosx ,→dx= 1 cosxdy.

,→ Z

sinxcosx dx= Z

y cosx 1 cosxdy=

Z

y dy= 1

2y²+C.

Durch R¨ucksubstitution y= sinxfolgt Z

sinxcosx dx= 1

2 sin²x+C.