PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 10¨
Abzugeben bisDonnerstag, den 22. Dezember,12 Uhr
Aufgabe 3. Bestimmen Sie f¨ur die Matrix
A=
11 −18 9 6 −10 6
0 0 2
(a) das charakteristische Polynom, (b) die Eigenwerte, (c) eine Basis aus Eigenvektoren.
L¨osung: (a) Wir rechnen mit der Sarrus-Regel
χA(λ) = det
11−λ −18 9
6 −10−λ 6
0 0 2−λ
= (11−λ)(−10−λ)(2−λ)−(−18)6(2−λ)
= (2−λ)(λ2−λ−110 + 108) = (2−λ)(λ2−λ−2).
(b) Durch Erraten der Nullstellen des zweiten Faktors vom obigen Polynom erh¨alt man (λ2−λ−2) = (λ+ 1)(λ−2) und somit die Eigenwerte λ1= 2 und λ2 =−1.
(c) Eigenraum zuλ1 = 2 ist Kern von
9 −18 9 6 −12 6
0 0 0
.
Den kann man einfach erraten: er hat Dimension 2 und wird aufgespannt von 1 1 1T
und 1 0 −1T
.
Eigenraum zu λ1 =−1 ist der Kern von
12 −18 9
6 −9 6
0 0 3
.
Den kann man auch erraten, er hat Dimension 1 und wird aufgespannt von 3 2 0T
.
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