n) f¨ur alle t∈R

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 26.5.2009 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

5. ¨Ubungsblatt zur Analysis II

Aufgabe 25 :

Es seiF(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ), wobei f :R^{2 →}Rdifferenzierbar sei. Berechnen Sie

∂F

∂r(r, θ) und ∂F

∂θ(r, θ) und zeigen Sie, dass

r² µ∂f

∂x1

(rcosθ, rsinθ)

¶2

+r² µ∂f

∂x2

(rcosθ, rsinθ)

¶2

=r² µ∂F

∂r(r, θ)

¶2

+ µ∂F

∂θ(r, θ)

¶2

.

Aufgabe 26 :

F¨ur die differenzierbaren Funktionen p, q:R^→R^{n und H :}R^n×R^n→R^gelte (∗) dpk

dt (t) =−∂H

∂q_k(p(t), q(t)) , dqk

dt (t) = +∂H

∂p_k (p(t), q(t)) (k= 1, . . . , n) f¨ur alle t∈R. Zeigen Sie, dass H(p(t), q(t)) einen konstanten Wert unabh¨angig vont annimmt.

Bemerkung: Die Hamiltonschen Gleichungen (∗) bestimmen die Bewegung eines mechanischen Sy- stems mit Positionenq(t) und Impulsenp(t) zur Zeitt. Die GesamtenergieH(p(t), q(t)) bleibt dabei erhalten.

Aufgabe 27 :

Seif :R^→R² gegeben durchf(t) = (cost,sint)^T. Zeigen Sie, dass mita= 0, b= 2π f¨ur alleξ∈R gilt:

f(b)−f(a)6=f⁰(ξ)(b−a). Aufgabe 28 :

(Matrizennormen) Zeigen Sie f¨urA= (a_ij)∈R^m×n: (a) kAk₁ = maxj=1,...,nPm

i=1|a_ij| (maximale Spaltenbetragssumme)

kAk_∞=kA^Tk₁ = maxi=1,...,mPn

j=1|a_ij| (maximale Zeilenbetragssumme) (b) kAk₂ ≤^qPm_i=1^Pn_j=1a²_ij

kAk₂ ≤^pkAk₁kAk_∞

(c) kAk₂ =^p gr¨oßter Eigenwert von A^TA

Hinweise: zu (b) Cauchy-Schwarz; kxk²₂ ≤ kxk₁ kxk∞ f¨urx∈Rⁿ zu (c) DiagonalisierungA^TA=Q^TDQ mit OrthogonalmatrixQ.

Aufgabe 29 :

Zeigen Sie: F¨ur Matrizen A, B∈R^n×n ist die Operatornorm des Produkts beschr¨ankt durch kABk ≤ kAk · kBk.

Aufgabe 30 :

Seien a > 0 und die Funktion f : D ⊂ R ^→ R ^{mit f(x) =} _1+a^{a ¡x+a}_x^¢ gegeben. Finden Sie den gr¨ossten Definitionsbereich D, sodass f¨ur alle abgschlossenen Intervalle A ⊂D die Funktion f die folgende Eigenschaft hat:

Es gibt einα <1 sodass f¨ur alle x, y∈Agilt|f(x)−f(y)| ≤α|x−y|.

Es werden L¨osungen f¨ur f¨unf Aufgaben gewertet. Diese werden so ausgew¨ahlt, dass Sie eine m¨oglichst hohe Punktzahl erreichen.

Abgabe in der Vorlesungspause am 9.6.2009,

Besprechung in den ¨Ubungen am 18.6.2009 bzw. 19.6.2009