PD Dr. M. Buballa Institut f¨ ur Kernphysik

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 5. ¨ Ubungsblatt

20. Mai 2011 Aufgabe 12:

In der Vorlesung wurden die L¨osungen positiver Frequenz ψ + (x) = u(~ p)e ^{− ip · x} der freien Dirac-Gleichung f¨ ur ein Teilchen in Ruhe mit u( ~ 0) = √

m ξ

ξ

bestimmt und mit einem Boost,

S = exp

− i η 2 σ ⁰³

mit σ ⁰³ = i 2

γ ⁰ , γ ³

= iγ ⁰ γ ³ = − i

σ ³ 0 0 − σ ³

,

f¨ ur Teilchen mit einem Impuls p ³ in z-Richtung erweitert.

a) Zeigen Sie, dass sich u(~ p) = S u( ~ 0) als u(~ p) =

cosh η 2

1 0 0 1

− sinh η 2

σ ³ 0 0 − σ ³

√ m ξ

ξ

darstellen l¨asst.

Hinweis:

sinh x =

∞

X

n=0

x ²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! , cosh x =

∞

X

n=0

x ²ⁿ (2n)!

b) Zeigen Sie weiter, dass sich dies als

u(~ p) =





p E + p ³

1− σ

2

+ p

E − p ³

1+σ

2

ξ p E + p ³

1+σ

2

+ p

E − p ³

1− σ

2

ξ





und kompakt als u(~ p) =

√ p · σ ξ

√ p · σ ξ ¯

mit (σ ^µ ) = 1

~σ

und (¯ σ ^µ ) = 1

− ~σ

schreiben l¨asst.

Hinweis: Boosten Sie ein Teilchen aus seinem Ruhesystem (m, 0) in z-Richtung, um η zu eliminieren.

c) Zeigen Sie, dass die oben angegebene Form auch f¨ ur Impulse ~ p in beliebige Richtung die Dirac-Gleichung

(p/ − m) u(~ p) = 0 erf¨ ullt.

Hinweis: Zeigen Sie, dass p

(p · σ)(p · σ) = ¯ m gilt.

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