PD Dr. M. Buballa Institut f¨ur Kernphysik
Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie
SS 2011, 2. ¨ Ubungsblatt
29. April 2011 Aufgabe 4:
Leiten Sie f¨ur die Lagrangedichte L= 1
2
(∂µφ)(∂µφ)−m2φ2 mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen
∂L
∂φ −∂µ ∂L
∂(∂µφ) = 0 die Klein-Gordon-Gleichung
∂2+m2
φ= ∂µ∂µ+m2 φ= 0 her.
Aufgabe 5:
Gegeben sei ein komplexes skalares Feld φmit der Lagrangedichte L=|∂µφ|2−m2|φ|2 .
a) Verwenden Sie zum einen φundφ∗ und zum anderenφ1= Re(φ) undφ2= Im(φ) als unabh¨angige Variable und zeigen Sie, dass beide Wege zu den gleichen Bewegungs- gleichungen f¨uhren.
b) Leiten Sie mit Hilfe des Noether-Theorems den erhaltenen Noether-Strom f¨ur die Transformationφ→φ′ =eiαφ(und entsprechend φ∗ →φ∗′=e−iαφ∗) ab.
c) Zeigen Sie explizit mit Hilfe der Bewegungsgleichungen aus a), dass der in b) berech- nete Strom erhalten ist.
d) Die Erhaltung des Noetherstroms bleibt nat¨urlich unber¨uhrt, wenn wir ihn mit einem konstanten Faktor multiplizieren. W¨ahlen Sie diesen so, dass die r¨aumlichen Kompo- nenten mit dem Wahrscheinlichkeitsstrom der Schr¨odinger-Theorie ¨ubereinstimmen, d.h.
~j = 1 2mi
φ∗∇φ~ −φ~∇φ∗ .
Zeigen Sie dann, dass ρ = j0 f¨ur eine ebene Welle φ=Ne−i(Et−~p·~x) mit E2 =~p 2+m2 negativ sein kann und deshalb nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte in- terpretiert werden kann.N ist dabei ein Normierungsfaktor.
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