Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 4. ¨ Ubungsblatt

13. Mai 2011 Aufgabe 10:

Betrachten Sie das komplexe skalare Feld

L=|∂^µφ|²−m²|φ|² mit φundφ^† als unabh¨angigen Variablen:

φ(x) =

Z d³p (2π³)

1 p2E_p

a_p e^−ip·x+b^†_p e^ip·x ,

φ^†(x) =

Z d³p (2π³)

1 p2Ep

b_p e^−ip·x+a^†_p e^ip·x .

a) Bestimmen Sie die konjugierten Impulseπ und π^†.

b) Bestimmen Sie aus den Quantisierungsbedingungen f¨ur die Felder, [φ(x), π(x^′)] = [φ^†(x), π^†(x^′)] =iδ³(x−x^′) ,

[φ(x), φ(x^′)] = [φ^†(x), φ^†(x^′)] = [π(x), π(x^′)] = [π^†(x), π^†(x^′)] = 0, [φ(x), φ^†(x^′)] = [φ(x), π^†(x^′)] = [φ^†(x), π(x^′)] = [π^†(x), π(x^′)] = 0, die Kommutatorrelationen f¨ur die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

c) Zeigen Sie, dass f¨ur die erhaltene Ladung unter Vernachl¨assigung einer nicht messbaren unendlichen Konstanten

Q= Z

d³x j⁰(x)∝

Z d³p (2π)³

a^†_pap−b^†_pbp

gilt.

Hinweis (vgl. Aufgabe 5):

j^µ=i

(∂^µφ^†)φ−φ^†(∂^µφ)

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Aufgabe 11:

a) Zeigen Sie unter Verwendung der Vertauschungsrelationen {γ^µ, γ^ν}= 2g^µν die folgen- den Relationen f¨ur die γ-Matrizen:

γ_µγ^µ= 4 , γ_µγ^αγ^µ=−2γ^α , γ_µγ^αγ^βγ^µ= 4g^αβ ,

Tr(γ^µγ^ν) = 4g^µν ,

Tr(γ^µγ^νγ^σγ^ρ) = 4(g^µνg^σρ−g^µσg^νρ+g^µρg^νσ) .

b) Weiterhin wird oft die hilfreiche Kombination von γ-Matrizen γ5 =γ⁵ =iγ⁰γ¹γ²γ³ verwendet. Zeigen Sie, dass gilt:

(γ⁵)² = 1 , {γ5, γ^µ}= 0 , Tr(γ5) = 0 .

c) Beweisen Sie, dass die Spur ¨uber ein Produkt einer ungeraden Anzahl vonγ-Matrizen verschwindet.

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