In der Vorlesung wurde f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Ausdruck

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 10. ¨ Ubungsblatt

24. Juni 2011 Aufgabe 23:

In der Vorlesung wurde f¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt der Ausdruck

dσ = Z

d ² b



 Y

f

d ³ p f

(2π) ³ 1 2E _f







 Y

i=A,B

Z d ³ k i

(2π) ³ φ i (~k i )

√ 2E _i

Z d ³ k ^′ _i (2π) ³

φ ^∗ _i (~k _i ^′ ) p 2E _i ^′





× e ^{i~b ·( ~ k}

^{− ~ k}

⁾ _out h ~ p ₁ . . . ~ p n | ~k A ~k B i in

out h ~ p ₁ . . . ~ p n | ~k ^′ _A ~k ^′ _B i in

_∗

hergeleitet. Dabei liegt der Vektor ~b in der x-y-Ebene.

a) F¨ uhren Sie die dort auftretenden k _i ^′ -Integrationen f¨ ur nicht-triviale Prozesse unter Verwendung der Relation

out h ~ p ₁ . . . ~ p n | ~k A ~k B i in = (2π) ⁴ δ ⁴

k A + k B − X

f

p f

i M ( { k i } → { p f } )

explizit aus und zeigen Sie, dass

dσ =



 Y

f

d ³ p f

(2π) ³ 1 2E _f





Z d ³ k A

(2π) ³

Z d ³ k B

(2π) ³

φ _A (~k A )

2

φ _A (~k B )

2

2E _A 2E _B | v _A − v _B |

× |M (k _A , k _B → { p _f } ) | ² (2π) ⁴ δ ⁴

k _A + k _B − X

f

p _f

gilt. Hierbei bezeichnet v i = k i,z /E i die Geschwindigkeit der parallel zur z-Achse einlaufenden Teilchen.

b) F¨ ur im Impulsraum scharf lokalisierte Wellenpakete wird daraus

dσ = 1

2E _A 2E _B | v _A − v _B |



 Y

f

d ³ p f

(2π) ³ 1 2E _f



 (2π) ⁴ δ ⁴

k A + k B − X

f

p _f

× |M (k A , k B → { p f } ) | ² .

Zeigen Sie, dass dieser Ausdruck invariant gegen¨ uber Lorentz-Boosts in z-Richtung ist.

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