Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 1. ¨ Ubungsblatt

15. April 2011 Aufgabe 1:

Zeigen Sie, dass die Gravitationskonstante G = 6.67·10^{−11 N m}_kg2² in nat¨urlichen Einheiten (¯h = c = 1) durch G = M_P⁻² gegeben ist, wobei M_P = 1.2·10¹⁹ GeV die so genannte Planckmasse ist.

(Hinweis: 1 eV = 1.6·10⁻¹⁹J, c= 3·10⁸m s⁻¹, ¯hc= 0.2 GeV fm.) Aufgabe 2:

Zeigen Sie, dass f¨ur eine beliebige Lorentz-Transformation x^′µ= Λ^µ_νx^ν gilt:

a) Λµα Λ^µ_β =g^α_β b) x^ν =x^′µ Λµν

c) Die Ableitung nach x^µ transformiert sich wie eine kovariante, die Ableitung nach xµ

wie eine kontravariante Gr¨oße, d.h.

∂µ:= ∂

∂x^µ bzw. ∂^µ:= ∂

∂xµ

.

Aufgabe 3:

Zeigen Sie, dass die kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen

∂µF^µν =j^ν und ∂µF˜^µν = 0 die bekannte Form

∇ ×~ E~ +∂ ~B

∂t = 0, ∇ ·~ B~ = 0 , ∇ ×~ B~ −^{∂ ~E}

∂t =~j , ∇ ·~ E~ =ρ beinhaltet.

Hinweise:

F^µν =∂^µA^ν −∂^νA^µ, F˜^µν =ǫ^µνρσF_ρσ, (j^µ) =

ρ

~j

, F⁰ⁱ=−Eⁱ, F^ij =−ǫ^ijkB^k .

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