Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 7. ¨ Ubungsblatt

3. Juni 2011

Aufgabe 15:

Betrachten Sie die Lagrangedichte f¨ur das freie elektromagnetische Feld L=−1

4Fµν(x)F^µν(x) .

a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Noether-Theorems den Energie-Impuls-Tensor T^µν. b) Der Energie-Impuls-Tensor kann durch Addition eines Terms ∂_λK^λµν in eine symme-

trische Form gebracht werden, wobei K^λµν antisymmetrisch in λ und µ ist. Warum darf man einen solchen Term addieren?

c) Zeigen Sie explizit, dass ˆT^µν =T^µν−∂_λ(F^λµA^ν) symmetrisch ist.

Hinweis: Sie ben¨otigen daf¨ur die Euler-Lagrange-Gleichungen.

d) Identifizieren Sie E = ˆT⁰⁰ und S^k = ˆT^0k und zeigen Sie, dass sich damit die aus der Elektrodynamik bekannten Relationen

E = 1 2

E~²+B~²

und S~ =E~ ×B~ ergeben. Zeigen Sie dazu zun¨achst, dassL= ¹₂

E~²−B~² gilt.

Erinnerung: F^µν =∂^µA^ν−∂^νA^µ, F⁰ⁱ =−Eⁱ, F^ij =−ǫ^ijkB^k. Aufgabe 16:

Zeigen Sie, dass aus der Gupta-Bleuler-Bedingung, ∂_µA^µ(+)(x)|Ψi= 0, im Impulsraum (a³_p−a⁰_p)|Ψi= 0

folgt.

Aufgabe 17:

Zeigen Sie, dass die Lagrangedichte der QED, L= ¯ψ(i∂/−m)ψ−1

4F_µνF^µν−eψγ¯ ^µψA_µ, invariant unter der folgenden lokalen Eichtransformation ist:

ψ(x) → e^iα(x)ψ(x), Aµ(x) → Aµ(x)−1

e∂µα(x)

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