1. Bilden von Ableitungen: Bilden Sie die Ableitung f i 0 der folgenden Funktionen:

Ubungsblatt 7 – Differenzial- ¨ und Integralrechnung, WS 09/10

1. Bilden von Ableitungen: Bilden Sie die Ableitung f _i ⁰ der folgenden Funktionen:

f 1 (x) = sin(2x), f 2 (x) = sin(2x) e ^5x , f 3 (x) = sin 2 e ^{5 sin(2x)} , f 4 (x) = x ^x , f 5 (x) = (x ^x ) ^x , f 6 (x) = x ^(x

⁾

mit D(f _i ) = R f¨ ur i = 1, 2, 3 und D(f _i ) = R ⁺ f¨ ur i = 4, 5, 6. [Hinweis: a ^b = e ^{b ln a} ]

2. Symmetrie von Ableitungen: Beweisen oder widerlegen Sie: Die Ableitung eines gera- den (symmetrischen) Polynoms ist ein ungerades (antisymmetrisches) Polynom und um- gekehrt.

3. Kurvendiskussion: Diskutieren Sie die Funktion f : R → R , f (x) = x ² e ^−x

(Wertebereich, Nullstellen, Lage und Art der Extrema, Monotonie, Wendepunkte, Konve- xit¨ at, Asymptoten, Skizze)

4. Polynom-Splines: Bestimmen Sie Polynome p und q mit den folgenden Eigenschaften:

• p(−1) = 1, p ⁰ (−1) = −1, p(1) = 1, p ⁰ (1) = 1

• q(0) = 1, q ⁰ (0) = 0, q(1) = −1, q ⁰ (1) = 0

5. Differenzierbares Fortsetzen: Bestimmen Sie die Konstanten a, b, c und d so, dass die folgende Funktion f auf ganz D(f) = R differenzierbar ist:

f (x) =



 

 

3x ² + cos(x + 1) f¨ ur x < −1 ax + b f¨ ur − 1 ≤ x < 1 c e ^x−1 (x ² + d) f¨ ur 1 ≤ x

6. Taylor-Polynome: Bestimmen Sie die Taylorpolynome vom Grad n der folgenden Funk- tionen f i um die Stelle x 0 :

f 1 (x) = e ^{cos x} , x 0 = 0, n = 2 f ₂ (x) = ln(sin x), x ₀ = ^π ₂ , n = 3 f 3 (x) = e ^−x

1 + x ² , x 0 = 0, n = 6

7. Relativistische Energie: Nach der Speziellen Relativit¨ atstheorie ist die Energie eines K¨ orpers der Ruhemasse m 0 mit Geschwindigkeit v gegeben durch

E(v) = m(v) c ² = m 0 c ² q

1 − ^v _c

.

Entwickeln Sie E(v) um v = 0 in ein Taylorpolynom zweiter Ordnung.

8. Euler’sche Formel: Zeigen Sie die Euler’sche Formel e ^ix = cos x + i sin x

durch Benutzung der Taylorreihen der elementaren Funktionen.

9. Taylor-Reihe: Bestimmen Sie einen allgemeinen Ausdruck f¨ ur die n-te Ableitung der Funktion

f (x) = √

1 + x , D(f ) = [−1, ∞)

an der Stelle x = 0 und beweisen Sie dessen G¨ ultigkeit mittels vollst¨ andiger Induktion.

Geben Sie die Taylor-Reihe der Funktion um x ₀ = 0 an und bestimmen Sie deren Konver- genzradius.

10. Lineare Unabh¨ angigkeit: Bestimmen Sie f¨ ur die Funktionen f ₁ (x) = x ³ und f ₂ (x) = |x| ³ , D(f ₁ ) = D(f ₂ ) = R die Wronski-Determinante

W (x) =

f ₁ (x) f ₂ (x) f ₁ ⁰ (x) f ₂ ⁰ (x) .

Sind die beiden Funktionen linear unabh¨ angig (d.h. folgt aus α 1 f 1 (x) + α 2 f 2 (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ R zwangsl¨ aufig α ₁ = α ₂ = 0)?

11. Grenzwertbestimmungen: Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:

G 1 = lim

x→0

x − sin x

x ³ , G 2 = lim

x→e

e − x

1 − ln x , G 3 = lim

x→π

sin ² x (x − π) ² , G ₄ = lim

x→0

x ln x, G ₅ = lim

x→0

x ^x , G ₆ = lim

x→

2

−

π 2 − x

tan x , G 7 = lim

x→0

sinh ² x

sinh(x ² ) , G 8 = lim

x→0

cos ²

cos x − 1 x ²

+ sin ²

e ^x − 1 − x x ²

,

G 9 = lim

x→0

sin x x

, G 10 = lim

x→∞

sinh x

x ² + e ^x , G 11 = lim

x→π

(sin x) ^π−x 12. Stetiges Erg¨ anzen: W¨ ahlen sie die Konstanten a ₁ und a ₂ so, dass die folgende Funktionen

f in ganz D(f ) = R stetig ist:

f (x) =



 



 



sin(xπ)

x ² − 4 f¨ ur x ∈ R \ {−2, 2}

a ₁ f¨ ur x = −2 a ₂ f¨ ur x = 2

13. Ungleichungen aus konvexen Funktionen: Beweisen Sie die Ungleichung ln x > x − 1

x f¨ ur x > 1

durch Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf die Funktion

f (t) = ln t im Intervall [1, x].