(1)Ableitungen von Funktionen Bestimmen Sie die ersten und zweiten Ableitungen zu folgenden Funktionen L¨osungen: 1

Ableitungen von Funktionen

Bestimmen Sie die ersten und zweiten Ableitungen zu folgenden Funktionen L¨osungen:

1.

f(x) = sin(x) f⁰(x) = cos(x) f⁰⁰(x) = −sin(x) 2.

f₁(x) = sin(2x) f₁⁰(x) = 2 cos(2x) f₁⁰⁰(x) = −4 sin(2x) 3.

f2(x) = sin(2x−3) f₂⁰(x) = 2 cos(2x−3) f₂⁰⁰(x) = −4 sin(2x−3) 4.

f₃(x) = sin(x²) f₃⁰(x) = 2xcos(x²)

f₃⁰⁰(x) = 2 cos(x²)−(2x)²sin(x²) 5.

f₄(x) = sin(4x²) f₄⁰(x) = 8xcos(4x²)

f₄⁰⁰(x) = 8 cos(4x²)−(8x)²sin(4x²) 6.

f₅(x) = sin(4x²+ 2x−3)

f₅⁰(x) = (8x+ 2) cos(4x²+ 2x−3)

f₅⁰⁰(x) = 8 cos(4x² + 2x−3)−(8x+ 2)²sin(4x² + 2x−3) 1

7.

f₆(x) = sin(√

4x²+ 2x−3−√ x) f₆⁰(x) =

à 8x+ 2 2p

(4x²+ 2x−3) − 1 2√ x

! cos(√

4x²+ 2x−3−√ x)

f₆⁰⁰(x) = −sin(√

4x²+ 2x−3−√ x)·

à 8x+ 2 2p

(4x²+ 2x−3) − 1 2√ x

!₂

+ cos(√

4x²+ 2x−3−√ x)1

2

· µ

−1

2(4x²+ 2x−3)⁻³²(8x+ 2)²+ (4x²+ 2x−3)⁻¹²8 + 1 2x⁻³²

¶

2

1.

h₁(x) = 1 x h⁰₁(x) = − 1

x² h⁰⁰₁(x) = 2

x³ 2.

h₂(x) = 1 2x h⁰₂(x) = − 1

2x² h⁰⁰₂(x) = 1

x³ 3.

h₃(x) = 1 x² h⁰₃(x) = − 2

x³ h⁰⁰₃(x) = 6

x⁴ 4.

h₄(x) = x x² h⁰₄(x) = − 1

x² h⁰⁰₄(x) = 2

x³ 5.

h₅(x) = x+ 1 x² h⁰₅(x) = −x+ 2

x³ h⁰⁰₅(x) = 2(x+ 3)

x⁴

3

6.

h₆(x) = x x²+ 1 h⁰₆(x) = 1−x²

(x²+ 1)² h⁰⁰₆(x) = 2x(3 +x²)

(x²+ 1)³ 7.

h₇(x) = x+ 1 x²+ 1 h⁰₇(x) = x²+ 2x−1

(x²+ 1)²

h⁰⁰₇(x) = 2(x³+ 3x−3x−1) (x²+ 1)³ 8.

h₈(x) = x²−1 x²+ 1 h⁰₈(x) = 4x

(x²+ 1)² h⁰⁰₈(x) = 4(1−3x²)

(x²+ 1)³ 9.

h₉(x) = 5x²−3x−4 2x²+ 7x+ 1 h⁰₉(x) = 25 + 26x+ 41x²

(2x²+ 7x+ 1)²

h⁰⁰₉(x) = −4(81 + 75x+ 39x²+ 41x³) (2x²+ 7x+ 1)³

4