Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 19 vom 11.5.2006

Aufgabe 73

Beweisen Sie:

(i) b^α−a^α≤ |b−a|^α ∀a,b≥0,α∈(0,1].

(ii) Sei(X,d)ein metrischer Raum mit Metrik d, A⊂X und f ∈C^0,α(A),α ∈(0,1].

Dann gibt es eine Funktion F∈C^0,α(X)mit F|_A=f und H¨ol_X,αF≤H¨ol_A,αf. Hinweis: Machen Sie den Ansatz

F(x):=inf

z∈A[f(z) +H¨ol_A,αf·d(x,z)^α],

und zeigen Sie zun¨achst mit Hilfe von (i), dass F(x)>−∞f¨ur jedes x∈X . Dann beweisen Sie die H¨olderabsch¨atzung zuerst f¨ur die Funktion

x7→f(z) +H¨ol_A,αf·d(x,z)^α

f¨ur festes z∈A, bevor Sie das Infimum ¨uber alle z∈A betrachten.

Aufgabe 74

Beweisen Sie: Es sei 1<p<∞und A= (a_{i j})∈R^n×n, 1≤Λ<∞mit

|a_{i j}| ≤Λ f¨ur alle i,j∈ {1, . . . ,n}

und

ξ^TAξ≥ 1

Λ|ξ|² ∀ξ∈Rⁿ. (E) Dann gibt es eine Konstante C=C(Λ,p,n), so dass

kD²vk_Lp(Rⁿ)≤C(Λ,p,n)ka_{i j}∂i jvk_Lp(Rⁿ) f¨ur alle v∈W^2,p(Rⁿ).

Hinweis: Machen Sie sich wie im Beweis von Proposition 5.3 der Vorlesung zun¨achst klar, dass man ohne Einschr¨ankung annehmen kann, dass A symmetrisch ist. Anschlie- ßend transformieren Sie mit Hilfe der Wurzelzerlegung A=B²auf eine Funktion ˜v mit der Eigenschaft, dass∆v(x) =˜ a_{i j}∂i jv(Bx)f¨ur x∈Rⁿund wenden auf diese Funktion Lemma 6.7 der Vorlesung an.

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Aufgabe 75

SeiΩ⊂Rⁿoffen und f∈C⁰(Ω), dann heißt eine Funktionω:[0,∞)→[0,∞]Stetigkeits- modul von f , wennωmonton w¨achst,ω(0) =0 undωstetig in 0 ist und die Absch¨atzung

|f(x)−f(y)| ≤ω(|x−y|) f¨ur alle x,y∈Ω erf¨ullt.

(i) Geben Sie zu f einen Stetigkeitsmodulω an f¨ur den Fall, dassΩ⊂⊂Rⁿ.

(ii) Konstruieren Sie aus einem gegebenen beschr¨ankten Stetigkeitsmodulωzu f einen konkaven Stetigkeitsmodul ¯ωzu f .

Hinweis: Betrachten Sie dazu alle konkaven und stetigen Funktionenλauf[0,∞)mit λ(t)≥ω(t)f¨ur alle t∈[0,∞), und bilden Sie das Infimum.

Aufgabe 76

Sei n≥2 undΩ⊂Rⁿoffen und u∈W^2,n(Ω)eine starke Unterl¨osung von Lu=0 inΩ, d.h.

Lu :=a_{i j}∂i ju+b_i∂iu+cu≥0 Lⁿ−f.¨u. in Ω,

wobei a_{i j},b_i,c∈L^∞(Ω), ai jpositiv semi-definit, c≤0. Weiter seiψ∈C²(R)mitψ⁰≥0 undψ⁰⁰≥0.

Zeigen Sie, dass f¨ur w :=ψ◦u die Absch¨atzung

Lw≥cψ(0) Lⁿ−f.¨u. in Ω gilt.

Hinweis: Argumentieren Sie mit Hilfe von Faltungen, oder machen Sie sich anhand der Produkt- und Kettenregel f¨ur Sobolevfunktionen, Proposition 3.22 der Vorlesung, klar, dass Sie den Ausdruck LwLⁿ-f.¨u inΩ berechnen k¨onnen. Betrachten Sie f¨ur den Fall, dass Ω unbeschr¨ankt ist, eine kompakte Aussch¨opfung des Gebietes und die Funktion ˜ψ :=

ψ−ψ(0), um die Voraussetzungen von Proposition 3.22 (ii) zu verifizieren.

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