Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen
Ubungsblatt 12¨
Scale Function & Hitting Times
SeiW = (Wt)t≥0 eine eindimensionale standard Brown’sche Bewegung.
Aufgabe 12.1 (stochastische Ginzburg-Landau Gleichung). (4 Punkte) Betrachte f¨ur η, λ >0 die (eindimensionale) SDE
dXt = (η+12)Xt−λXt3
dt+XtdWt, X0 = 1.
Zeige, dass durch
Xt := exp(ηt+Wt) q
1 + 2λRt
0 exp(2ηs+ 2Ws) ds
, t≥0
eine L¨osung gegeben ist.
Hinweis:Definiere Zt:=Rt
0exp(2ηs+ 2Ws) ds, setzeXt=f(Wt, Zt, t) f¨ur geeignetes f und benutze die 2-dimensionale, zeitabh¨angige Itˆo-Formel. Es bietet sich an, zun¨achsthW, Zit= 0 f¨ur allet≥0 zu zeigen.
Aufgabe 12.2 (Skalenfunktion). (4 Punkte)
Seienσ, µ:R→Rstetig mit σ(x)>0 f¨ur alle x∈R. Sei X= (Xt)t≥0 eine L¨osung der SDE dXt = µ(Xt)dt+σ(Xt)dWt, X0 =x0 ∈R. (1) Wir definieren dieSkalenfunktion(scale function)s:R→RvonX (oder auch der SDE) als
s(x) :=
Z x x0
exp
−2 Z y
x0
µ(z) σ(z)2 dz
dy.
(a) Bestimme die Skalenfunktion der standard Brown’schen Bewegung W. (b) Zeige, dass Mt:=s(Xt) ein lokales Martingal ist.
Aufgabe 12.3 (Treffzeiten). (4 Punkte)
Sei X wieder L¨osung der SDE (1), und f¨ur x∈R sei τx := inf{t≥0|Xt=x}die Treffzeit (hitting time) von x. Zeige f¨ur a, b∈Rmita < x0 < b dass
P {τa< τb}
= s(b) s(b)−s(a). Dabei ist sdie in Aufgabe 12.2 definierte Skalenfunktion vonX.
Hinweis:Verwende das optional sampling theorem.
Abgabe Di, 27.01. am Anfang der ¨Ubungsstunde
