Wolfgang L¨ohr Wintersemester 2017/18
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Prozesse
Ubungsblatt 7¨
Poisson Prozess, Halbgruppen & Generatoren
Alle Prozesse seien auf einem vollst¨andigen Wahrscheinlichkeitsraum definiert.
Aufgabe 7.1 (Poisson Prozess). (4 Punkte)
SeiX= (Xt)t≥0 der (standard) Poisson Prozess mit X0= 0 (E=N0).
(a) Bestimmen Sie den Generator.
(b) Zeigen Sie: X ist genau dann separabel wenn die Pfadet7→Xt f.s. monoton sind. Dies sei im Folgenden angenommen.
(c) Sei τ = inf{t ≥ 0 | Xt = 1}. Zeigen Sie, dass die bedingte Verteilung von τ gegeben X1 = 1 die Gleichverteilung auf [0,1] ist (alsoP(τ ≤t|X1 = 1) =t).
Aufgabe 7.2 (Explizite Konstruktion des Poisson Prozesses). (4 Punkte) Sei c >0,S1, S2, . . . unabh¨angige, zum Parameter cexponentialverteilte Zufallsvariablen,
Tn :=
n
X
k=1
Sk und Yt:= #{n∈N|Tn≤t}.
(a) Zeigen Sie: Xt:=Yt/c ist der standard Poisson Prozess.
(b) Bestimmen Sie den Generator vonY. (c) Entscheiden Sie, obY separabel ist.
Aufgabe 7.3 (Yule Prozess). (8 Punkte)
Sei Xt,t≥0, die Anzahl der Bakterien zur Zeit tin einer Population. Jede Bakterie wartet eine zuf¨allige Zeit, die exponentialverteilt zum Parameter c > 0 und unabh¨angig von allen ubrigen Wartezeiten ist, und teilt sich dann in zwei identische Bakterien. Die beiden neuen¨ Bakterien verhalten sich nun genauso, das heisst jede wartet wieder ihre Exp(c)-verteilte, unabh¨angige Zeit bevor sie sich ihrerseits teilt. Sei fernerX0 = 1.
(a) Geben Sie mit Hilfe unabh¨angiger, exponentialverteilter Zufallsvariablen eine explizite Konstruktion des Prozesses X= (Xt)t≥0 an.
(b) Geben Sie den Generator von X an.
(c) Zeigen Sie, dass f¨ur die zuX geh¨orige Markovsche Halbgruppe P = P(t)
t≥0 gilt P1,k(t) = e−ct(1−e−ct)k−1 ∀t≥0, k∈N.
(d) Berechen Sie E(Xt).
Abgabe (freiwillig) Di, 05.12. in der ¨Ubung
