Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Ubungsblatt 6¨

Lokale Martingale & Quadratische Variation

Aufgabe 6.1. (4 Punkte)

Seip≥1. Betrachte eine Folge (Xⁿ)n∈Np-fach integrierbarer Martingale, deren eindimensio- nalen Marginale in L^p convergieren, das heißt es gibtYt∈L^p,t≥0, mit

X_tⁿ −→

n→∞

Y_t inL^p ∀t≥0. (1)

(a) Zeige: (Yt)_t≥0 ist ein Martingal.

(b) Zeige: Haben alleXⁿ,n∈N, stetige Pfade, so existiert im Fallp >1 eine Modifikation X von Y mit stetigen Pfaden, so dass (1) auch f¨ur X anstelle vonY gilt.

Hinweis: Verwende die Doob’sche Ungleichung.

Aufgabe 6.2. (4 Punkte)

Sei wie ¨ublich (Wt)t≥0 eine standard Brown’sche Bewegung. F¨ur i= 1,2 sei H⁽ⁱ⁾∈ H_loc und f¨ur t≥0

X_tⁱ :=

Z t

0

H_s⁽ⁱ⁾ dWs. Zeige, dass f¨ur t≥0

hX¹, X²it = Z t

0

H_s⁽¹⁾H_s⁽²⁾ ds. (2) Hinweis:Verwende, dass (2)f¨urH⁽ⁱ⁾∈ H, i∈ {1,2}, bereits bekannt ist.

Aufgabe 6.3. (4 Punkte)

Sei M ein lokales Martingal und H ∈ E. F¨ur t ≥ 0 bezeichne I_t^M(H) das (elementare) stochastische Integral bez¨uglichM.

(a) Zeige: I_t^M(H)

t≥0 ist ein lokales Martingal.

(b) Berechne die Quadratvariation

I^M(H)

tf¨ur t≥0.

Abgabe Di, 25.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde