LokaleMartingaleundStochastischeIntegration ¨Ubungsblatt7 StochastischeDifferentialgleichungen ¨UbungenzurVorlesung

Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Ubungsblatt 7¨

Lokale Martingale und Stochastische Integration

Aufgabe 7.1. (4 Punkte)

Sei W = (W_t)_t≥0 eine standard Brownsche Bewegung, sowie U uniform auf [0,1] und un- abh¨angig vonW. Wir arbeiten mit der Filtration Ft:=σ(U, Ws, s≤t),t≥0.

(a) Zeige:

Xt:=

Z t 0

1

U dWs, t≥0, ist wohldefiniert und ein lokales Martingal.

(b) Entscheide (mit Beweis!) ob (X_t)_t≥0 ein Martingal ist.

Sei Pⁿ = {t_n,0, t_n,1, . . .}, n ∈ N, mit 0 = t_n,0 < t_n,1 < · · · f¨ur alle n, eine fest gew¨ahlte, zul¨assige Zerlegungsfolge von R₊. SetzeP_Tⁿ:=Pⁿ∩[0, T]. F¨urt=tn,k∈ Pⁿ,n∈N,k∈N₀, T >0, benutzen wir die Abk¨urzung t^′ :=t_n,k+1∧T.

Aufgabe 7.2. (4 Punkte)

Sei M = (M_t)_t≥0 ein stetiges lokales Martingal mit absolutstetiger quadratvariation, H = (Ht)t≥0 progressiv messbar mit stetigen Pfaden und E[RT

0 H_t²dhMit] < ∞ f¨ur alle T > 0.

Zeige, dass f¨ur alleT >0 X

t∈PTⁿ

Ht(M_t^′−Mt) −→

n→∞

Z T 0

HtdMt stochastisch.

Hinweis:Zeige die Aussage zun¨achst f¨ur beschr¨ankte H.

Abgabe Di, 02.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde