Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Ubungsblatt 8¨

Itˆ o-Formel

Aufgabe 8.1 (eine diskrete Itˆo-Formel). (4 Punkte) SeiF = (Fn)n∈Neine Filtration,X = (Xn)n∈NeinF-Martingal mitX1 = 0,|Xn+1−Xn|= 1 f.s. f¨ur alle n∈ N. F¨ur g:Z → R bezeichne I_n^X g(X)

:= Zn das in Aufgabe 2.3 definierte diskrete stochastische Integral mitY_n:=g(X_n) f¨ur allen∈N. Zeige, dass f¨ur alle f:Z→R undn∈N

f(Xn) = f(X1) +I_n^X ∆f(X) +¹₂

n−1

X

k=1

∆²_f(Xk) gilt, wobei ∆_f,∆²_f:Z→Rdie f¨ur allek∈Z durch

∆f(k) := ¹₂ f(k+ 1)−f(k−1)

und ∆²_f(k) :=f(k+ 1) +f(k−1)−2f(k) definierten diskreten Ableitungen vonf sind.

Sei (Wt)t≥0 eine standard Brown’sche Bewegung mit FiltrationF = (Ft)t≥0.

Aufgabe 8.2. (4 Punkte)

SeiT >0. Forme die folgenden Ausdr¨ucke so um, dass sie keine stochastischen Integrale mehr enthalten.

(a) Z T

0

W_t² dWt

(b) Z T

0

e^Wt dWt

Aufgabe 8.3 (Beispiel f¨ur Doob-Meyer Zerlegung). (4 Punkte) Sei X_t:= sin(Wt) f¨ur t≥0. Gib die Doob-Meyer Zerlegung vonX an, d.h. zerlege X_t als

X_t=M_t+A_t, t≥0,

mit einem Martingal M = (Mt)t≥0, und einem vorhersagbaren Prozess A = (At)t≥0 von endlicher Variation mitA0 = 0.

Hinweis: Funktionen der Form t 7→ Rt

0g(s) ds f¨ur stetige g:R₊ → R sind differenzierbar, also insbesondere von endlicher Variation.

Abgabe Di, 09.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde