Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen

Ubungsblatt 13¨

Eigenschaften von L¨ osungen

Aufgabe 13.1 (H¨olderstetigkeit). (5 Punkte)

Seid, m∈Nund W = (W_t)_t≥0 einem-dimensionale standard Brown’sche Bewegung. Ferner seienµ:R^d→R^d undσ:R^d→R^d×m messbar, sowiex∈R^d. Betrachte die SDE

dXt = µ(Xt) dt+σ(Xt) dWt, X₀ =x. (1) SeiX= (Xt)t≥0ein stochastischer Prozess, der die SDE (1) l¨ost. Ferner seiV ∈ C² R^d,[0,∞) dergestalt, dass es einc≥0 gibt, mitG^µ,σV ≤cV,kµ(x)k²R^d ≤cV(x), undkσ(x)k²HS≤cV(x) f¨ur alle x ∈ R^d. Fixiere T > 0 und zeige, dass die L²(P;R^d)-wertige Funktion t 7→ Xt auf [0, T] ¹₂-H¨olderstetig ist, also

sup

0≤s<t≤T

kX_t−X_skL²(P;R^d)

√t−s < ∞.

Gib zudem eine H¨olderkonstante (obere Schranke f¨ur das Supremum) an, die nur vonT,V(x) und c abh¨angt.

Hinweis: Verwende Aufgabe 11.3

Aufgabe 13.2 (Momente des CIR mit Langzeitmittel 0). (7 Punkte) Betrachte f¨ur x, β, κ >0 die eindimensionale SDE

dXt = −κX_tdt+βp

X_tdWt, X₀=x.

Sei X eine L¨osung (deren Existenz vorausgesetzt werden darf).

(a) Zeige, dassE[X_t] =e^−κtx f¨ur allet≥0 gilt.

Hinweis: Zeige zun¨achst, dass Rt 0

√X_tdWt ein Martingal ist.

(b) Zeige, dass f¨ur alle t≥0

Var(Xt) = ^β_κ²x e^−κt−e^−2κt .

Hinweis: Berechne das 2. Moment unter Verwendung von Teil (a).

(c) Zeige, dassX_t f¨ur t→ ∞ stochastisch gegen 0 konvergiert.

Hinweis: Verwende Teil (b).

Abgabe Di, 03.02. am Anfang der ¨Ubungsstunde