Wolfgang L¨ohr Wintersemester 2017/18
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Prozesse
Ubungsblatt 6¨
Konvergenzsatz & Kopplung
Aufgabe 6.1 (Lazy Irrfahrt auf dem Hyperw¨urfel). (4 Punkte) SeiN ∈NundH ={0,1}N der Hyperw¨urfel, d.h.xundy sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie sich in genau einer Koordinate unterscheiden. Sei ˆp die einfache Irrfahrt aufHundp= 12(ˆp+IH), wobeiIH dieH×H-Einheitsmatrix ist.pheisstlazy, dapin jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit 12 einfach stehen bleibt statt zu einem Nachbarknoten zu wechseln. SeiX= (Xn)n∈N0 eine Markovkette zu p.
(a) Zeigen Sie, dass es eine station¨are Verteilung π gibt, und λ <1 mit dTV L(Xn), π
≤ 2λn ∀n∈N.
(b) Zeigen Sie: f¨ur k∈N,n >2kNlog(N) gilt dTV L(Xn), π
≤ 2−k.
Die ,,Mischungszeit” hat also die Ordnung (h¨ochstens) Nlog(N).
Hinweis: Verwenden Sie eine geschickte Kopplung. Eine dabei auftretende Zufallsva- riable l¨asst sich als Maximum (nicht unabh¨angiger) identisch verteilter, geometrischer Zufallsvariablen schreiben.
Aufgabe 6.2 (Reflektierte Irrfahrt mit Drift). (6 Punkte) SeiE=N0, 0< ε <1,px,x+1 = 12(1−ε) f¨urx∈N0, undp0,0=px,x−1 = 12(1 +ε) f¨urx∈N. Sei X= (Xn)n∈N0 die Markovkette zu pmitX0 = 0.
(a) Zeigen Sie, dass es eine station¨are Verteilung π gibt, und bestimmen Sie diese.
(b) Zeigen Sie, dass X gegen π konvergiert, alsoL(Xn)→π bzgl.dTV.
(c) Zeigen Sie, dass die Konvergenz exponentiell schnell ist, also dass es einλ=λε <1 und ein c >0 gibt mit
dTV L(Xn), π
≤ cλn ∀n∈N.
Bitte wenden!
Aufgabe 6.3. (6 Punkte) Seip die ¨Ubergangsmatrix aufN mitpx,1 = 1−px,x+1= x+22 .
(a) Zeigen Sie, dass ppositiv rekurrent ist.
(b) Zeigen Sie, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaßπ aufNgibt, so dass f¨ur allex∈Ngilt:
limn→∞dTV(δxpn, π) = 0.
(c) Zeigen Sie supx∈NdTV(δxpn, π) = 1 ∀n ∈ N. Insbesondere ist die Konvergenz nicht gleichm¨aßig im Startpunkt.
(d) Zeigen Sie, dass es kein c >0, λ <1 mit
dTV(δ1pn, π) ≤ cλn
gibt. Insbesondere liegt keine exponentielle Konvergenzgeschwindigkeit vor.
Abgabe (freiwillig) Di, 28.11. in der ¨Ubung
