Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Prozesse

Wolfgang L¨ohr Wintersemester 2017/18

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Prozesse

Ubungsblatt 2¨

Ionescu-Tulcea & Kolmogorov’scher Fortsetzungssatz

Aufgabe 2.1 (Markovkette). (5 Punkte)

Sei p = (p_ij)_i,j∈N ∈ [0,1]^N×N eine stochastische Matrix, d.h. P

j∈Np_ij = 1 f¨ur alle i ∈ N. Sei v = (vi)i∈N ∈ [0,1]^N mit P

i∈Nvi = 1. Zeigen Sie, dass es einen stochastischen Prozess X= (X)_n∈N₀ mit ZustandsraumNgibt, so dass

1. P({X0 =i}) = vi. 2. P {X_n+1 =j}

X₀, . . . , Xn

= P {X_n+1 =j} Xn

= p_Xnj fast sicher (f.s.).

Ferner ist die Verteilung vonX eindeutig bestimmt.

Aufgabe 2.2 (Poisson-Prozess). (5 Punkte)

Sei poi_λ die Poisson-Verteilung mit Parameter (Intensit¨at) λ > 0. Zeigen Sie, dass es einen stochastischen Prozess X = (X_t)_t≥0 mit folgenden Eigenschaften gibt:

1. X₀ = 0, 2. L(X_t−X_s) = poi_t−s ∀0≤s < t, 3. (X_tk−X_tk

−1)_k=1,...,n unabh¨angig ∀n∈N,0≤t₀ <· · ·< t_n.

Aufgabe 2.3 (weißes Rauschen). (6 Punkte)

Sei d ∈ N und h·,·i das Skalarprodukt auf L²(R^d), also hg, hi = R

g(x)h(x) dx f¨ur g, h ∈ L²(R^d). Zeigen Sie, dass es eine Familie (W(h))_h∈L²₍R^d) von Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit den folgenden Eigenschaften gibt.

1. W(h₁), . . . , W(h_n)

istn-dimensional normalverteilt ∀n∈N,h₁, . . . , h_n∈L²(R^d).

2. E W(h)

= 0 ∀h∈L²(R^d).

3. Cov W(g), W(h)

=hg, hi ∀g, h∈L²(R^d).

Hinweis: Zur Erinnerung: Eine Matrix ist genau dann die Kovarianzmatrix einer n-dimen- sionalen Normalverteilung, wenn sie symmetrisch und positiv semi-definit ist.

Bemerkung: W(h) wird als stochastisches Integral von h ¨uber weißes Rauschen interpre- tiert und auch als W(h) =R

h(x)W(dx) geschrieben. Es spielt in der Theorie stochastischer partieller Differntialgleichungen eine wichtige Rolle.

Abgabe (freiwillig) Di, 24.10. in der ¨Ubung