Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Dipl. Math. Simon Blatt

Ubungen zur Vorlesung ¨ Partielle Differentialgleichungen II

Serie 15 vom 13.4.2006

Aufgabe 57

Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Proposition 5.6 der Vorlesung:

Sei u∈C^2,α(K),α∈(0,1), f¨ur jede kompakte Menge K⊂Rⁿ⁻¹×[0,∞), mit u=0 auf Rⁿ⁻¹× {0} und H¨ol

Rⁿ+,αD²u<∞, wobeiRⁿ+:=Rⁿ⁻¹×(0,∞).

Dann gibt es eine Konstante C=C(n,α)

H¨olRⁿ+,αD²u≤C(n,α)H¨ol

Rⁿ+,α∆u.

Hinweis: Die Widerspruchsannahme f¨uhrt auf die Existenz eines Multiindexγmit|γ|=2, einer Zahl i∈ {1, . . . ,n}und einer Teilfolge m→∞, xmke_n∈Rⁿ+,h_m>0, so dass

h^−α_m |∂^γu_m(x_m+h_me_i)−∂^γu_m(x_m)| ≥c(n)>0.

Bearbeiten Sie hier nur den in der Vorlesung lediglich angedeuteten Fall 1:

m→∞lim

|xm| h_m =∞.

Aufgabe 58

Beweisen Sie Proposition 5.8 der Vorlesung:

L erf¨ulle (5.1), (5.2) und (E) in B₂(0)⁺. Dann gilt f¨ur u,φ∈C^2,α(B₂(0)⁺)mit u=φ auf B₂(0)∩ {x_n=0}

die a priori Absch¨atzung

kuk_C2,α(B₁(0)⁺)≤C(Λ,nα)h

kLuk_C0,α(B₂(0)⁺)+kφk_C2,α(B₂(0)⁺)+kuk_C2(B₂(0)⁺)

i .

Hinweis: Gehen Sie so vor wie beim Beweis von Proposition 5.4 der Vorlesung.

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Aufgabe 59

Zeigen Sie: SeiΩ⊂⊂Rⁿoffen, L erf¨ulle (5.1), (5.2), (E) und c≤0 inΩ,sei weiterhin f∈C^0,α(Ω).Dann gibt es Differentialoperatoren L_mmit Koeffizienten in C^∞(Ω)und c_m≤ 0, so dass f¨ur alle m die Bedingungen (5.1), (5.2) und (E) mitΛm:=2Λerf¨ullt sind, und

f_m∈C^∞(Ω), so dass fm≤C (unabh¨angig von m) und

L_m→L und f_m→f in C⁰(Ω).

Aufgabe 60

Vervollst¨andigen Sie den Beweis von Satz 5.11 der Vorlesung, indem Sie die h¨ohere Rand- regularit¨at und die Randabsch¨atzungen beweisen:

SeiΩ⊂⊂Rⁿoffen mit∂Ω∈C^k+2,α, L erf¨ulle die Voraussetzungen (5.1), (5.2) und (E), k∈N∪ {0},α∈(0,1)und

kai jk_Ck,α(Ω),kbik_Ck,α(Ω),kck_Ck,α(Ω)≤Λ,

und f ∈C^k,α(Ω),φ ∈C^k+2,α(Ω). F¨ur u∈C²(Ω)∩C^0,α(Ω)mit u=φ auf ∂Ω gilt u∈ C^k+2,α(Ω)und die Absch¨atzung

kuk_Ck+2,α(Ω)≤C(Ω,Λ,n,α,k)h

kfk_Ck,α(Ω)+kφk_Ck+2,α(Ω)+kuk_C0(Ω)

i .

Hinweis: Machen Sie sich klar, dass Sie ohne Einschr¨ankung φ=0 annehmen k¨onnen, biegen Sie den Rand lokal gerade, approximieren Sie wie beim Beweis der inneren Regu- larit¨at und verwenden Sie anstelle von Satz 5.1 nun den Satz 5.5 der Vorlesung. F¨ur tan- gentielle Ableitungen k¨onnen Sie eine Differentialgleichung herleiten, die verbleibenden rein normalen Ableitungen k¨onnen Sie abschließend mit Hilfe der Differentialgleichung kontrollieren.

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