Partielle Ableitungen
Die partielle Ableitung ∂
kf einer Funktion f : R
n3 D → R
mnach der k -ten Variablen x
kist die Ableitung der univariaten Funktion
x
k7→ f (x
1, . . . , x
k, . . . , x
n) ,
bei der die Variablen x
j, j 6= k, als Konstanten betrachtet werden. Man schreibt auch
∂
kf = f
xk= ∂f
∂x
k,
bzw. wenn x , y, z als Variablen verwendet werden, ∂
xf = f
x= ∂f /∂x,
∂
yf = f
y, etc.. Gem¨ aß der Definition der univariaten Ableitung gilt
∂
kf (x) = lim
h→0
f (. . . , x
k+ h, . . .) − f (. . . , x
k, . . .)
h .
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Partielle Ableitungen sind sowohl f¨ ur skalare (m = 1) als auch f¨ ur vektorwertige (m > 1) reelle Funktionen definiert. In beiden F¨ allen bleibt der Funktionstyp beim partiellen Ableiten erhalten. Definitionsgem¨ aß gilt
∂
k
f
1.. . f
n
=
∂
kf
1.. .
∂
kf
n
,
d.h. die partielle Ableitung wird simultan in den Komponenten gebildet.
Die ¨ ubliche Konvention ist, sowohl f¨ ur die Variable x als auch f¨ ur die Funktion f Spaltenvektoren zu verwenden. Dies ist wichtig bei der Definition der totalen Ableitung bzw. einer linearen Approximation von f .
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Beispiel
Partielle Ableitungen f¨ ur verschiedene Funktionstypen (i) Skalare Funktionen:
skalare partielle Ableitungen x
y
7→ f (x, y ) = xy
2f
x(x, y) = y
2, ∂f (x, y)
∂y = 2xy
x
1x
2x
3
7→ f (x
1, x
2, x
3) = x
13x
2+ x
1x
32∂
1f (x) = 3x
12x
2+ x
32, f (x)
∂x
2= x
13, f
x3(x
1, x
2, x
3) = 2x
1x
3(Verwendung der verschiedenen alternativen Notationen)
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(ii) Vektorwertige Funktion:
gleiche Komponentenzahl der partiellen Ableitungen r
t
7→ f (r, t) =
r cos t r sin t
f
r(r, t) =
cos t sin t
, f
t(r, t) =
−r sin t r cos t
x
1x
2x
3
7→
f
1(x
1, x
2, x
3) f
2(x
1, x
2, x
3)
=
x
23x
3x
12+ x
1x
32∂
1f (x) =
∂
1f
1(x)
∂
1f
2(x)
=
0 2x
1+ x
32∂f (x
1, x
2, x
3)
∂x
2=
3x
22x
30
∂
3f (x
1, x
2, x
3) =
x
232x
1x
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