6.4 Partielle Ableitungen

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6.4 Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen

∂ i f = f x

i

= ∂f

∂x i

, ∂ i f(x) = lim

h → 0

f(. . . , x _i + h, . . .) − f(. . . , x _i , . . .) h

Ableitung der univariaten Funktion x i 7→ f (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ), bei der die Variablen x j , j 6 = i, als Kon- stanten betrachtet werden

Mehrfache partielle Ableitungen

∂ i ∂ j f = f x

j

x

i

= ∂ ² f

∂x i ∂x j

Multiindex-Notation

∂ ^α f = ∂ ₁ ^α

¹

· · · ∂ _n ^α

ⁿ

f, α = (α 1 , . . . , α n ), α i ∈ N 0

∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f¨ur glatte Funktionen f

Vertauschbarkeit partieller Ableitungen

Sind die ersten und zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f stetig, so gilt

∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f .

F¨ur hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschbar. Insbeson- dere rechtfertigt dies die Multiindex-Schreibweise.

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

f (x + h) = f(x) + f ⁰ (x)h + o( | h | ), | h | → 0 Jacobi-Matrix

f ⁰ = J f = ∂(f 1 , . . . , f n )

∂(x 1 , . . . , x n ) = (∂ 1 f, . . . , ∂ n f ) =



 



∂ 1 f 1 . . . ∂ n f 1

... ...

∂ 1 f m . . . ∂ n f m



 



Differential

df = ∂f

∂x 1

dx 1 + · · · + ∂f

∂x n

dx n

100

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