Aufgabe 15 (Fehlerabschätzung für Ableitungen) 4 Punkte Sei T ⊂ R

Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016

Prof. Dr. Martin Rumpf — Pascal Huber — Sascha Tölkes

Übungsblatt 5 Abgabe: 31.05.2016

Aufgabe 15 (Fehlerabschätzung für Ableitungen) 4 Punkte Sei T ⊂ _R

ein nicht-degeneriertes Simplex mit Durchmesser h > _{0 und sei} f ∈ C

( T ) . Verfahren Sie ähnlich zum Beweis von Satz 2 . 13 aus der Vorlesung und zeigen Sie, dass für die Ableitungen von f die Fehlerabschätzungen

k ∂

( f − I

( f ))k

≤ C h

k D

f k

gelten, wobei I

( f ) ∈ P

das Interpolationpolynom von f auf dem Simplex T und β = ( β

, . . . , β

) ein Multiindex mit | _β | ≤ _{k ist.}

Hinweise:

• Falls Ihnen Schritt (ii) des Beweises Schwierigkeiten macht, können Sie stattdessen versuchen, die Aussage für f ∈ C

( T ) zu zeigen.

• Zeigen Sie für Schritt (iv) des Beweises, dass eine Ungleichung der Form k ∂

( f − I

( f ))k

≤ C

( A

) max

|γ|=|β|

k ∂

( f ^ˆ − b I ( f ^ˆ ))k

Tb

gilt und finden Sie eine passende Abschätzung für C

( A

) .

Aufgabe 16 (Diskrete Energieminimierung) 4 Punkte Gesucht seien Minimierer der Energie

E [ u ] = Z

0

| u

|

− u dx

mit u ∈ C

([ 0, 1 ]) und Randwerten u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0. Dazu betrachten wir folgende Approximation: Zu h =

definieren wir einen endlich dimensionalen Raum von Funktionen

V

= ⁿ u

: [ 0, 1 ] → _R u

|

ist affin für i = 0, · · · , N − 1, u

∈ C

([ 0, 1 ]) , u

( 0 ) = u

( 1 ) = 0 o und eine Approximation der Energie

E

[ u

] =

N−1 i

∑

Z

ih

| u

|

− u

dx.

(i) Geben Sie eine Basis { _ϕ

}

von V

an.

(ii) Für u

( x ) = _∑

u

ϕ

( x ) , u

∈ _R betrachten Sie die Abbildung E ¯

: R

→ _R; ( u

)

→ E

[ u

( x )] .

Berechnen Sie

h

.

(iii) Stellen Sie die notwendige Bedingung für ein Minimum von E

auf V

als Gleichungssystem dar.

Bemerkung: Dieses Gleichungssystem sollte ähnlich eines Ihnen aus der Vorlesung bekannten sein.

Aufgabe 17 (Tensorproduktinterpolation im R

) 4 Punkte Sei Ω = ( a, b )

und t

, . . . t

∈ [ a, b ] seien paarweise verschieden. Weiterhin sei

N : = { x

| α = ( α

, . . . α

) , α

∈ 0, . . . n, x

= ( t

, . . . t

)} . Sei P _: = P

⊗ · · · ⊗ P

| {z }

m

Faktoren

, d. h.

P = { p : R

→ _R | t 7→ p ( x

, . . . x

, t, x

, . . . x

) ∈ P

für 1 ≤ _i ≤ _{m und x}

_{, . . . x}

_{, x}

_{, . . . x}

∈ _R } _. (i) Geben Sie eine Lagrange-Basis von P an.

(ii) Zeigen Sie, dass zu f ∈ C

( _Ω ^¯ ) genau ein p ∈ P existiert, das f ( x ) = p ( x ) für alle x ∈ N _erfüllt.

(iii) Geben Sie die Lagrange-Basis für m = 3, a = t

= 0, b = t

= 1 und n = 1 explizit an.

Aufgabe 18 (Basiskonstruktion auf Prisma) 4 Punkte Gegeben sei ein Prisma, konstruieren Sie über einen Tensorproduktansatz (bzgl. eines Intervalls und eines Dreiecks) eine Basis eines bilinearen und eines biquadratischen Polynomraums. Verwenden Sie als Koordinaten ( µ

, µ

, λ

, λ

, λ

) , wobei µ

bzw. λ

die baryzentrischen Koordinaten auf dem Intervall als 1 -Simplex bzw. dem Dreieck

als 2 -Simplex bezeichnen.