Aufgabe 33 (Bilineare Abbildung auf Vierecken) 4 Punkte Es sei R

Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016

Prof. Dr. Martin Rumpf — Pascal Huber — Sascha Tölkes

Übungsblatt 10 Abgabe: 05.07.2016

Aufgabe 33 (Bilineare Abbildung auf Vierecken) 4 Punkte Es sei R

: = [ _{0, 1} ] × [ _{0, 1} ] das Referenzrechteck. ¯ a

, i = 0, . . . , 3 bezeichne seine gegen den Uhrzeigersinn numerierten Ecken. Eine Abbildung F : R

→ _R

heißt bilinear, wenn F in jeder Variable separat affin ist, d.h. F ( x, y ) : = c

+ c

x + c

y + c

xy mit c

∈ _R

_für i = 0, . . . 3. Weiter seien a

die gegen den Uhrzeigersinn numerierten Ecken eines Vierecks R und span { φ

, i, j = 1, . . . 2 } mit φ

( x, y ) = φ ^˜

( x ) φ ^˜

( y ) und ˜ φ

den klassischen Lagrange-Basisfunktionen in 1 D, der lokale Raum auf R.

Zeigen Sie:

(i) Es gibt genau eine bilineare Abbildung F mit F ( a ¯

) = a

für i = 0, . . . , 3. Stellen Sie F als Konvexkombination ihrer Werte in den Knoten dar.

(ii) F bildet R

bijektiv auf R ab genau dann, wenn R konvex ist.

(iii) F ist genau dann linear, wenn R ein Parallelogramm ist.

Aufgabe 34 (Steifigkeitsmatrix einer triangulierten Fläche) 4 Punkte Es sei T ⊂ _R

eine triangulierte Fläche bestehend aus den Dreiecken T

mit den Ecken ( a

, a

, a

) . Außerdem seien

∇

u = ( 1 − n ⊗ n )∇

u mit n ⊥ T, V

= { u : T → _R | u

affin , u ∈ C

(∪

T

)} , a ( u

, v

) =

Z

T

∇

u

· ∇

v

mit u

, v

∈ V

.

Berechnen Sie die lokale Steifigkeitsmatrix in Termen der Kantenvektoren.

Aufgabe 35 (Stetiger Erweiterungsoperator) 4 Punkte Es sei ∅ 6= _Ω ⊆ _R

eine offene Menge und k ∈ _N

. Geben Sie einen stetigen, linearen Erweiterungsoperator T : C

([ 0, 1 ) × _Ω ) → C

((− 1, 1 ) × _Ω ) an.

Hinweis: Definieren Sie für f ∈ C

([ _{0, 1} ) × _Ω ) , x ∈ _Ω und t ∈ ( _{0, 1} ) die Erweiterung

durch ( T f )(− t, x ) : = _∑

λ

f (

, x ) für eine geeignete Wahl von Koeffizienten λ

.

Aufgabe 36 (Quadraturformel auf Dreiecken) 4 Punkte Sei T ⊆ _R

ein nicht-entartetes Dreieck mit den Ecken a

, a

und a

. Zeigen Sie für

f ∈ P

( T ) die Quadraturformel Z

T

f dx = | _T | 60 ( 3

∑

f ( a

) + 8 ∑

0≤i<j≤2

f ( a

) + 27 f ( a

)) ,

wobei a

=

_und a

=

_∑

a

. Zeigen Sie weiter, dass die Gleichheit für Polynome aus P

( T ) im Allgemeinen nicht gilt.

Hinweis: Benutzen Sie, dass für ein Simplex T ∈ _R

mit baryzentrischen Koordinaten λ = ( _λ

_{, . . . , λ}

) die Formel

Z

T

λ

dx = ^α!d!

(| α | + d ) ! | T |

gilt, wobei α ∈ _N

einen Multiindex bezeichnet.