eine Quaderseite, die in ∂Ω enthalten ist. Man betrachte das elliptische Randwertpro- blem

Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016

Prof. Dr. Martin Rumpf — Pascal Huber — Sascha Tölkes

Übungsblatt 9 Abgabe: 28.06.2016

Aufgabe 29 (Elliptisches Randwertproblem auf einem Ring) 4 Punkte Es sei Ω ∈ _R ² eine zusammenhängende, endliche Vereinigung von Quadern und Γ D

eine Quaderseite, die in ∂Ω enthalten ist. Man betrachte das elliptische Randwertpro- blem

−

∑ n i,j = 1

∂ i ( a _ij ∂ i u ) + au = f in Ω ,

u = _{0 auf Γ D , (} ¹ ₎

ν i a ij ∂ j u = 0 auf ∂Ω \ _{Γ D} ,

wobei f ∈ L ² ( _Ω ) und a _ij , a messbar und beschänkt sind. Weiter gelte a _ij ( x ) ξ _i ξ _j ≥ c ₀ | ξ | ² und a ( x ) ≥ − C > − _C ^c

p

für x ∈ _Ω und ξ ∈ _R ⁿ mit der Poincaré- Konstante C p aus der folgenden Ungleichung:

k u k _L

( _Ω ) ≤ C p ( _{Ω, Γ D} )k∇ u k _L

( _Ω ) , die für u ∈ H ^1,2 ( _Ω ) mit u = 0 auf Γ D erfüllt ist.

Man gebe eine schwache Formulierung des Problems ( 1 ) an und zeige die Existenz einer eindeutigen schwachen Lösung.

Aufgabe 30 (Äquivalenz von Normen auf einem Dreieck) 4 Punkte Es sei T ⊆ _R ² ein Dreieck und P ₁ der Raum der affinen Funktionen auf T. Zeigen Sie, dass die L ^∞ − und die L ² − Normen auf P 1 äquivalent sind, d.h.

max T | p | ≤ C ( T )k p k _L

( T )

für p ∈ P ₁ , und geben Sie C ( T ) an.

Hinweis: Verwenden Sie die Tatsache, dass die Kantenmittenintegration für quadrati-

sche Funktionen exakt ist.

Aufgabe 31 (Singularität am Übergang Dirichlet-Neumann Rand) 4 Punkte Zeigen Sie,

(i) dass der Laplace-Operator in Polarkoordinaten die folgende Form hat:

∆u = ∂ ² _r u + ¹

r ² ∂ ² _ϕ u + ¹ r ∂ r u

(ii) dass die Lösung des Poisson-Problems

− _∆u = 0 in Ω , u = g auf ∂Ω

mit Ω = {( r cos ( _ϕ ) _, r sin ( _ϕ )) _{: 0} < r < _{1, 0} < _ϕ < _2π } _und g = r

sin ( ^ϕ ₂ ) keine schwache Lösung des Problems

− _∆u = 0 in B 1 ( 0 ) , u = g auf ∂B 1 ( 0 ) ist.

Aufgabe 32 (Schwache Lösung durch Spiegelung) 4 Punkte Sei u ∈ H ^1,2 ( _Ω ) schwache Lösung zum Problem

− _∆u = f auf Ω , u = _{0 auf ∂Ω}

mit Ω = [ 0, 1 ] ² und f ∈ L ² . Man konstruiere durch Spiegelung eine schwache Lösung von

− _∆u = e f auf [− 1, 1 ] ² , u = _{0 auf ∂} ([− _{1, 1} ] ² )

wobei f e eine geeignete Funktion mit e f _|

[0,1]2

= f ist.