Aufgabe 11 (Alternative, abstrakte Interpolationsfehlerabschätzung) 4 Punkte Sei I h : C n + 1 ([ a, b ]) → P n , f 7→ P t

Übungen zu Einführung in die Numerische Mathematik (V2E2) Sommersemester 2016

Prof. Dr. Martin Rumpf — Pascal Huber — Sascha Tölkes

Übungsblatt 4 Abgabe: 24.05.2016

Aufgabe 11 (Alternative, abstrakte Interpolationsfehlerabschätzung) 4 Punkte Sei I _h : C ^{n + 1} ([ a, b ]) → P _n , f 7→ P t

,...t

f für t 0 , . . . t n ∈ [ a, b ] ein Interpolationsoperator.

(i) Zeigen Sie ||I _h f || _{∞, [ a,b ]} ≤ C || f || _{∞, [ a,b ]} (Stabilität der Interpolation).

(ii) Folgern Sie daraus || f − I _h f || _{∞, [ a,b ]} ≤ C inf _q ∈P

|| f − q || _{∞, [ a,b ]} . (iii) Schließen Sie unter Verwendung der Taylorentwicklung,

dass || f − I _h f || _{∞, [ a,b ]} ≤ C ( b − a ) ^{n + 1} || f ^{( n + 1 )} || _{∞, [ a,b ]} .

Aufgabe 12 (Rationale Interpolation) 4 Punkte

Seien t 0 < t ₁ < . . . < t n ∈ _R und f ∈ C ( _R ) , f ( t _i ) = f _i gegeben. Gesucht sind Polynome p ∈ P _k und q ∈ P _l mit k + l = n, so dass

p ( t i ) = f i q ( t i ) für alle 0 ≤ i ≤ n .

(i) Zeigen Sie, dass diese Interpolationsaufgabe eine nichttriviale Lösung besitzt.

(ii) Geben Sie ein Beispiel an, für das ^p _q nicht die Funktion f interpoliert.

Aufgabe 13 (Hermite-Interpolationspolynom) 4 Punkte Bestimmen Sie das Hermite-Interpolationspolynom p 5 ∈ P ₅ , das die Bedingungen

p 5 ( 1 ) = − 4, p ₅ ⁰ ( 1 ) = − 7, p ⁰⁰ ₅ ( 1 ) = − 8, p 5 ( 2 ) = − 14, p ⁰ ₅ ( 2 ) = − 8, p 5 ( 3 ) = 14 erfüllt.

Aufgabe 14 (Hermite-Interpolationspolynom als Grenzwert) 4 Punkte Gegeben seinen die Werte y ₀ , y ₁ , z ₀ ∈ _R.

(i) Berechnen Sie das Interpolationspolynom zweiten Grades p e ( x ) mit p e ( 0 ) = y ₀ , p e ( 1 ) = y ₁ und p e ( _e ) = y ₀ + ez ₀ für e ∈ ( 0, 1 ) .

(ii) Berechnen Sie das Hermite-Interpolationspolynom zweiten Grades p ( x ) mit p ( ₀ ) = y ₀ , p ( ₁ ) = y ₁ und p ⁰ ( ₀ ) = z ₀ .

(iii) Zeigen Sie, dass p e für e → 0 gegen p bzgl. der Unendlichnorm k · k _∞ konver-

giert ( k g k _∞ : = max _x ∈[ 0,1 ] | g ( x )| ).