Numerische Mathematik 2

Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik 2

Ubung Nr. 4 ¨

Die Legendre-Polynome werden durch pn(t) := n!

(2n)!

dⁿ

dtⁿ(t² −1)ⁿ, n ∈N⁰

definiert (Abk ¨urzung:dⁿ= _dt^dnn).

Aufgabe 1 (Normierung) 3 Punkte

p_nist ein Polynomn-ten Grades mit f ¨uhrendem Koeffizienten 1, d.h.

p_n(t) =tⁿ+a_n−1tⁿ⁻¹+. . .+a₀.

Aufgabe 2 (Orthogonalit ¨at) 6 Punkte

Z 1

−1

p_n(t)p_m(t)dt= 0 f ¨urn 6=m

Hinweis: Berechnen Sie mithilfe der Leibniz-Formel (uv)⁽ⁿ⁾ = Pn

k=0u^(k)v^(n−k) f ¨ur k < ndie Werted^k(t²−1)ⁿan den Stellent=±1und benutzen Sie dann partielle Integration.

Aufgabe 3 (Orthogonale Polynome der klassischen Gauß-Quadratur) 6 Punkte Zeigen Sie, dass die Legendre-Polynome die orthogonalen Polynome bzgl.

hp, qi= Z 1

−1

p(t)q(t)dt sind. Zeigen Sie dazu u.a.:

q∈Π_n, q⊥Π_n−1, f ¨uhrender Koeffizient 1 ⇒ qeindeutig bestimmt

Erg ¨anzende Informationen

i) Die Dreitermrekursion f ¨ur die Legendre-Polynome lautet pn+1 = t pn − _4nⁿ2²−1pn−1.

ii) Normiert man in der Artp_n(1) = 1, dann erh ¨alt man p_n(t) = 1

2ⁿn!

dⁿ

dtⁿ(t²−1)ⁿ “Formel von Rodriguez”

und die Rekursionsformel lautet

(n+ 1)p_n+1 = (2n+ 1)t p_n − n pn−1.

iii) p_nist eine gerade Funktion f ¨ur geradesnund eine ungerade Funktion andernfalls, genauer gilt:

pn =tⁿ− n(n−1)

2(2n−1)tⁿ⁻²+n(n−1)(n−2)(n−3)

2·4·(2n−1)(2n−3)tⁿ⁻⁴±. . .

Abgabe bis: 17. November 2008 10.00 Uhr

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