Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik 2

Ubung Nr. 7 ¨

Aufgabe 1 (Spektralradius) 3 Punkte

a) Wird durch den Spektralradius eine Matrixnorm definiert?

b) Sei M ∈ R ^{n×n mit} ρ(M ) = 0 und b ∈ R ⁿ . Studieren Sie f ¨ur beliebige Startwerte x ⁽⁰⁾ ∈ R ⁿ das Konvergenzverhalten der durch die Iterationsvorschrift

x ^(k+1) = M x ^(k) + b , k = 0, 1, 2, . . .

gegebenen Folge.

c) Sei A ∈ R ^n×n singul ¨ar und B ∈ R ^n×n invertierbar. Zeigen Sie f ¨ur M = B ⁻¹ (B − A) : ρ(M ) ≥ 1 .

Aufgabe 2 (Differenzenquotienten) 3 Punkte

Sei x : R −→ R beliebig oft differenzierbar.

a) Zeigen Sie: x(t) = ¨ x(t − h) − 2x(t) + x(t + h)

h ² + ₁₂ ¹ h ² x ⁽⁴⁾ (ξ) f ¨ur ein ξ ∈ R b) Bestimmen Sie a −2 , . . . , a ₂ ∈ R so, dass gilt:

x ⁽⁶⁾ (t) = a −2 x(t − 2h) + a −1 x(t − h) + a 0 x(t) + a 1 x(t + h) + a 2 x(t + 2h)

h ² + O(h ² ) .

Aufgabe 3 (Implementierung von FDM) 3+6 Punkte

a) Gegeben sei das Randwertproblem

−¨ x(t) = g(t) , t ∈ (0, 1) , x(0) = x 0 , x(1) = x 1 ,

das mit Differenzenquotienten wie in der Vorlesung diskretisiert werden soll. Ersetzen Sie die Randbedingung durch Neumann-Randwerte:

˙

x(0) = α , x(1) = ˙ β

Wie sieht nun die Matrix L _h des Diskretisierungsverfahrens aus? Sind die Gleichungs- systeme L _h x _h = f _h eindeutig l ¨osbar?

Hinweis: F ¨uhren Sie z.B. Hilfspunkte x −1 ≈ x(−h) , x _{N +1} ≈ x(1 + h) ein und damit

Ableitungsapproximationen f ¨ur x(0) ˙ , x(1) ˙ .

b) Implementieren Sie die Finite-Differenzen-Methode f ¨ur

−¨ x(t) + q(t)x(t) = g(t) , x(a) = x _a , x(b) = x _b .

Testen Sie Ihr Programm anhand von

−¨ x(t) = 3τ

(τ + t ² ) ² x(t) , x(0.5) = 0.5

√ τ + 0.25 , x(−0.5) = −x(0.5)

(wobei τ > 0 ein Parameter sei, w ¨ahlen Sie hier z.B. τ = 0.02 ). Berechnen (oder raten) Sie eine exakte L ¨osung x f ¨ur dieses RWP. Lassen Sie Ihr Programm mit h = _N ¹ f ¨ur N = 50, 500, 5.000, 50.000 laufen und bestimmen Sie numerisch die Fehler kR X

x −x h k . Stimmen diese Werte mit der theoretischen Konvergenzaussage ¨uberein?

Abgabe bis: 08. Dezember 2008 10.00 Uhr

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