Numerische Mathematik

Dr. Ronald St ¨over SoSe 2008 Zentrum f ¨ur Technomathematik

Universit ¨at Bremen

Numerische Mathematik

Ubung Nr. 7 ¨

Aufgabe 1 (Pseudoinverse) 3+1+1 Punkte

Sei A ∈ R^m×n. Eine Matrix Z ∈ R^n×m heißt Pseudoinverse (auch Moore-Penrose-Inverse) vonA, falls vier Eigenschaften erf ¨ullt sind:

i)ZA = (ZA)^T ii)AZ = (AZ)^T iii)AZA=A iv)ZAZ =Z .

Zeigen Sie:

a) Die Pseudoinverse ist eindeutig bestimmt.

b) Geben Sie die Pseudoinverse f ¨ur die F ¨alleA ∈R^n×ninvertierbar undA∈R^m×n,m > n, rang(A) =nkonkret an.

c) Bestimmen Sie eine Darstellung der Pseudoinversen, die auf der Singul ¨arwertzerlegung A=UΣV^T basiert.

Bemerkungen: i) ¨Ublicherweise wird die Pseudoinverse mitA⁺bezeichnet.

ii)x₀ :=A⁺yist die L ¨osung vonkAx−yk₂ →minmit minimaler Euklidischer Norm.

Aufgabe 2 (Fixpunktiterationen) 3+2 Punkte

Die L ¨osungx^∗ ∈[¹₂,^π₂]der Gleichung3x= tanxsoll berechnet werden.

a) Testen Sie die durch

φ1(x) := ¹₃tanx und φ2(x) := arctan(3x). definierten Fixpunktiterationen. Was f ¨allt auf und wie l ¨asst es sich erkl ¨aren?

b) Sei(x_k)durchφ₂ undx₀ = ^√1

3 definiert. Sch ¨atzen Sie ab, nach wie vielen Iterationsschrit- ten der Fixpunktx^∗bis auf einen Restfehler von h ¨ochstens10⁻⁶ bestimmt ist.

Aufgabe 3 (Konvergenzordnung von Newton-Verfahren) 2+2 Punkte a) Die Funktionfsei(m+2)-mal stetig differenzierbar und habe inx^∗einem-fache Nullstelle.

Zu deren Approximation wird das Iterationsverfahren

x_k+1 =x_k−mf(xk)

f⁰(x_k), k= 0,1,2, . . . verwendet. Bestimmen Sie dessen (lokale) Konvergenzordnung.

b) Formulieren Sie hinreichende Bedingungen an die Funktionf, damit das Newton-Verfahren f ¨urf(x) = 0die Konvergenzordnungp≥3besitzt.

Aufgabe 4 (Anwendung des Newton-Verfahrens) 2+2+2 Punkte a) Benutzen Sie das Newton-Verfahren zur Berechnung der L ¨osungx^∗ ∈[¹₂,^π₂]der Gleichung 3x = tanx. Vergleichen Sie das Konvergenzverhalten mit dem der Fixpunktiteration aus Aufgabe 2.

b) Gegeben sei die Funktion

f :R−→R, f(x) := 100 + ¹⁰⁰_π

2x·cos(2x)−sin(2x) .

L ¨osen Sie mithilfe des Newton-Verfahrens die Gleichungen i)f(x) = 50, ii) f(x) = 0.

Erkl ¨aren Sie Ihre Beobachtungen.

c) Begr ¨unden Sie, warum bzw. wann die Gleichung

n

X

i=1

r pi

q_i+x = R mit p_i, q_i, R >0

genau eine L ¨osung hat. Berechnen Sie diese f ¨ur den Fall n = 20, R = 5 und Pseudozu- fallszahlenpi, qi ∈(0,1](Hinweis:Matlab-Funktionenrand).

Abgabe bis: 27. Mai 2008 10.30 Uhr Postfach 84